初二作辅助线题型

..word版本一.作辅助线1.按定义添加:如证明二直线垂直可延长使它们,相交后证交角为90°；证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍2.按基本图形添加:(1).平行线:当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的第三条直线(便有了同位角内错角同旁内角等,可运用平行线的判定和性质)(2).线段:相等--结论是两线段相等的题目常画辅助线构成全等三角形，或利用关于平分线段的一些定理相加减--结论是一条线段与另一条线段之和等于第三条线段这类题目，常采用截长法或补短法(3).三角形:中线--有底边中点连接作中线,有腰中点连接作中位线(则有中位线定理,反过来知道中位线可判断平行及中点),直角三角形有斜边中点连接作中线(等于斜边一半).常利用中位线角平分线--常以角平分线为对称轴，利用角平分线的性质和题中的条件，构造出全等三角形，从而利用全等三角形的知识解决问题(4).平行四边形(包括矩形,正方形,菱形):平行四边形（包括矩形、正方形、菱形）的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理，其常用方法有下列几种，举例简解如下：①连对角线或平移对角线：②过顶点作对边的垂线构造直角三角形③连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线④过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等.(5).梯形:梯形是一种特殊的四边形。它是平行四边形、三角形知识的综合，通过添加适当的辅助线将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决。辅助线的添加成为问题解决的桥梁，梯形中常用到的辅助线有：①在梯形内部平移一腰。②梯形内平移两腰③延长两腰④过梯形上底的两端点向下底作高⑤平移对角线⑥连接梯形一顶点及一腰的中点⑦过一腰的中点作另一腰的平行线⑧作中位线..word版本练习1.已知如图1-1：D、E为△ABC内两点,求证:AB＋AC＞BD＋DE＋CE.2.如图2，ΔABC中，AD是中线，延长AD到E，使DE=AD，DF是ΔDCE的中线。已知ΔABC的面积为2，求：ΔCDF的面积。3.如图3，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，BA、CD的延长线分别交EF的延长线G、H。求证：∠BGE=∠CHE。ABCDENM11图ABCDEFG21图..word版本4.如图6，已知梯形ABCD中，AB//DC，AC⊥BC，AD⊥BD，求证：AC=BD。5.如图1-2，AB//CD，BE平分∠BCD，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：BC=AB+CD。6.如图2-4,∠AOP=∠BOP=15°，PC//OA，PD⊥OA,如果PC=4，则PD=（）A.4B.3C.2D.17.如图所示，在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，AB∥DC，AD＝15，AB＝16，BC＝17.求CD的长.8.如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B＋∠C=90°，AD=1，BC=3，E、F分别是AD、BC的中点，连接EF，求EF的长。图1-2ADBCEF图2-4BOAPDCABCD..word版本9.已知：梯形ABCD中，AD//BC，AD=1，BC=4，BD=3，AC=4，求梯形ABCD的面积10.如图所示，四边形ABCD中，AD不平行于BC，AC＝BD，AD＝BC.判断四边形ABCD的形状，并证明你的结论.11.在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD，∠ABC=60°，AD=3cm，BC=5cm，求：(1)腰AB的长；(2)梯形ABCD的面积．ABDCEHABCDABCDDEDFD..word版本12.在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=900，E是DC上的中点，连接AE和BE，求∠AEB=2∠CBE。13.如图6，在直角梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥AD，BC=CD，BE⊥CD于点E，求证：AD=DE。答案1.(截长补短)证明：（法一）将DE两边延长分别交AB、AC于M、N，在△AMN中，AM＋AN＞MD＋DE＋NE;（1）在△BDM中，MB＋MD＞BD；（2）在△CEN中，CN＋NE＞CE；（3）由（1）＋（2）＋（3）得：AM＋AN＋MB＋MD＋CN＋NE＞MD＋DE＋NE＋BD＋CE∴AB＋AC＞BD＋DE＋EC（法二：）如图1-2，延长BD交AC于F，延长CE交BF于G，..word版本在△ABF和△GFC和△GDE中有：AB＋AF＞BD＋DG＋GF（三角形两边之和大于第三边）（1）GF＋FC＞GE＋CE（同上）………………………………（2）DG＋GE＞DE（同上）……………………………………（3）由（1）＋（2）＋（3）得：AB＋AF＋GF＋FC＋DG＋GE＞BD＋DG＋GF＋GE＋CE＋DE∴AB＋AC＞BD＋DE＋EC。2..(中线分面积为相等的2半)解：因为AD是ΔABC的中线，所以SΔACD=SΔABC=×2=1，又因CD是ΔACE的中线，故SΔCDE=SΔACD=1，因DF是ΔCDE的中线，所以SΔCDF=SΔCDE=×1=。∴ΔCDF的面积为。3.(利用中位线)证明：连结BD，并取BD的中点为M，连结ME、MF，∵ME是ΔBCD的中位线，∴MECD，∴∠MEF=∠CHE，∵MF是ΔABD的中位线，∴MFAB，∴∠MFE=∠BGE，∵AB=CD，∴ME=MF，∴∠MEF=∠MFE，从而∠BGE=∠CHE。4.(直角三角形斜边中线)证明：取AB的中点E，连结DE、CE，则DE、CE分别为RtΔABD，RtΔABC斜边AB上的中线，故DE=CE=AB，因此∠CDE=∠DCE。∵AB//DC，∴∠CDE=∠1，∠DCE=∠2，∴∠1=∠2，在ΔADE和ΔBCE中，∵DE=CE，∠1=∠2，AE=BE，∴ΔADE≌ΔBCE，∴AD=BC，从而梯形ABCD是等腰梯形，因此AC=BD。5.(角平分线截取)在此题中可在长线段BC上截取BF=AB，再证明CF=CD，从而达到证明的目的。这里面用到了角平分线来构造全等三角形。另外一个全等自已证明。此题的证明也可以延长BE与CD的延长线交于一点来证明。6.(角平分线上的点到角两边距离)C7.(平移一腰)解：过点D作DE∥BC交AB于点E.又AB∥CD，所以四边形BCDE是平行四边形.所以DE＝BC＝17，CD＝BE.在Rt△DAE中，由勾股定理，得AE2＝DE2－AD2，即AE2＝172－152＝64.所以AE＝8.所以BE＝AB－AE＝16－8＝8.即CD＝8.ABCDE..word版本8.(平移2腰)解：过点E分别作AB、CD的平行线，交BC于点G、H，可得∠EGH＋∠EHG=∠B＋∠C=90°则△EGH是直角三角形因为E、F分别是AD、BC的中点，容易证得F是GH的中点所以)(2121CHBGBCGHEF1)13(21)(21)]([21)(21ADBCDEAEBCDEAEBC9.(平移对角线)解：如图，作DE∥AC，交BC的延长线于E点．∵AD∥BC∴四边形ACED是平行四边形∴BE=BC+CE=BC+AD=4+1=5，DE=AC=4∵在△DBE中，BD=3，DE=4，BE=5∴∠BDE=90°．作DH⊥BC于H，则512BEEDBDDH6251252DHBC)(ADABCD梯形S．10.(延长腰)四边形ABCD是等腰梯形.证明：延长AD、BC相交于点E，如图所示.∵AC＝BD，AD＝BC，AB＝BA，∴△DAB≌△CBA.∴∠DAB＝∠CBA.∴EA＝EB.又AD＝BC，∴DE＝CE，∠EDC＝∠ECD.而∠E＋∠EAB＋∠EBA＝∠E＋∠EDC＋∠ECD＝180°，∴∠EDC＝∠EAB，∴DC∥AB.又AD不平行于BC，∴四边形ABCD是等腰梯形.11.(作高)解：作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，又∵AD∥BC，∴四边形AEFD是矩形，EF=AD=3cm∵AB=DCcmEFBCFCBE1)(21∵在Rt△ABE中，∠B=60°，BE=1cm∴AB=2BE=2cm，cmBEAE33∴2342)(cmAEBCADSABCD梯形12.(中点延长)解：分别延长AE与BC，并交于F点∵∠BAD=900且AD∥BC∴∠FBA=1800－∠BAD=900ABCDE..word版本又∵AD∥BC∴∠DAE=∠F(两直线平行内错角相等)∠AED=∠FEC（对顶角相等）DE=EC（E点是CD的中点）∴△ADE≌△FCE（AAS）∴AE=FE在△ABF中∠FBA=900且AE=FE∴BE=FE（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）∴在△FEB中∠EBF=∠FEB∠AEB=∠EBF+∠FEB=2∠CBE13.解：连结BD，由AD//BC，得∠ADB=∠DBE；由BC=CD，得∠DBC=∠BDC。所以∠ADB=∠BDE。又∠BAD=∠DEB=90°，BD=BD，所以Rt△BAD≌Rt△BED，得AD=DE。三.最值定值问题(一)最值:在平面几何问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的面积、角的度数）的最大值或最小值问题，称为最值问题。最值问题的解决方法通常有两种:(在此介绍符合当前所学过知识的一种解法)应用几何性质：①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；②两点间线段最短；③连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；④特殊位置与极端位置法----特殊位置与极端位置是指：(1)中点处、垂直位置关系等；(2)端点处、临界位置等.⑤数形结合法:一次函数,反比例函数(二)定值:几何中的定值问题，是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题.解几何定值问题的基本方法是：分清问题的定量及变量，运用特殊位置、极端位置，直接计算等方法，先探求出定值，再给出证明．1.如图，已知AB=10，P是线段AB上任意一点，在AB的同侧分别以AP和PB为边作等边△APC和等边△BPD，则CD长度的最小值为．2.如图，正方形ABCD的边长为1，点P为边BC上任意一点（可与B点或C点重合），分别过B、C、D作射线AP的垂线，垂足分别是B′、C′、D′，则BB′+CC′+DD′的最大值为，最小值为．3.如图，圆柱的轴截面ABCD是边长为4的正方形，动点P从A点出发，沿看圆柱的侧面移动到BC的中点S的最短距离是()A．212B．2412C．214D．2424.如图、已知矩形ABCD，R，P户分别是DC、BC上的点，E，F分别是AP、RP的中点，当P在BC上从B向C移动而R不动时，那么下列结论成立的是()A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐减小C．线段EF的长不改变D．线段EF的长不能确定..word版本9.(数形结合一次函数)某工程队要招聘甲、乙两种工种的工人150人，甲、乙两种工种的工人的月工资分别是600元和1000元，现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的2倍，问甲、乙两种工种各招聘多少人时可使得每月所付的工资最少？10.一名工人一天能生产某种玩具３至５个，若每天须生产这种玩具４００个，那么须招聘工人多少名？(最少多少?最多多少?)(三)最短路线问题在求最短路线时，一般我们先用“对称”的方法化成两点之间的最短距离问题，而两点之间直线段最短，从而找到所需的最短路线．像这样将一个问题转变为一个和它等价的问题，再设法解决，是数学中一种常用的重要思想方法．e.gA、B两点在直线l的同侧，在直线L上取一点P，使PA+PB最小5.如下图，侦察员骑马从A地出发，去B地取情报．在去B地之前需要先饮一次马，如果途中没有重要障碍物，那么侦察员选择怎样的路线最节省时间，请你在图中标出来．6.长方体ABCD—A′B′C′D′中，AB=4，A′A=2′，AD=1，有一只小虫从顶点D′出发，沿长方体表面爬到B点，问这只小虫怎样爬距离最短？..word版本7.已知定点A