高中数学变化率问题--导数的概念(老师版)

1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念[学习目标]1.理解函数平均变化率、瞬时变化率的概念.2.掌握函数平均变化率的求法.3.掌握导数的概念，会用导数的定义求简单函数在某点处的导数.知识点一函数的平均变化率1.平均变化率的概念设函数y＝f(x)，x1，x2是其定义域内不同的两个点，那么函数的变化率可用式子fx2－fx1x2－x1表示，我们把这个式子称为函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率，习惯上用Δx表示x2－x1，即Δx＝x2－x1，可把Δx看作是相对于x1的一个“增量”，可用x1＋Δx代替x2；类似地，Δy＝f(x2)－f(x1).于是，平均变化率可以表示为ΔyΔx.2.求平均变化率求函数y＝f(x)在[x1，x2]上平均变化率的步骤如下：(1)求自变量的增量Δx＝x2－x1；(2)求函数值的增量Δy＝f(x2)－f(x1)；(3)求平均变化率ΔyΔx＝fx2－fx1x2－x1＝fx1＋Δx－fx1Δx.思考(1)如何正确理解Δx，Δy?(2)平均变化率的几何意义是什么？答案(1)Δx是一个整体符号，而不是Δ与x相乘，其值可取正值、负值，但Δx≠0；Δy也是一个整体符号，若Δx＝x1－x2，则Δy＝f(x1)－f(x2)，而不是Δy＝f(x2)－f(x1)，Δy可为正数、负数，亦可取零.(2)如图所示：y＝f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率是曲线y＝f(x)在区间[x1，x2]上陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”，ΔyΔx越大，曲线y＝f(x)在区间[x1，x2]上越“陡峭”，反之亦然.平均变化率的几何意义是函数曲线上过两点的割线的斜率，若函数y＝f(x)图象上有两点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，则fx2－fx1x2－x1＝kAB.知识点二瞬时速度与瞬时变化率把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.做直线运动的物体，它的运动规律可以用函数s＝s(t)描述，设Δt为时间改变量，在t0＋Δt这段时间内，物体的位移(即位置)改变量是Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)，那么位移改变量Δs与时间改变量Δt的比就是这段时间内物体的平均速度v，即v＝ΔsΔt＝st0＋Δt－st0Δt.物理学里，我们学习过非匀速直线运动的物体在某一时刻t0的速度，即t0时刻的瞬时速度，用v表示，物体在t0时刻的瞬时速度v就是运动物体在t0到t0＋Δt这段时间内的平均变化率st0＋Δt－st0Δt在Δt→0时的极限，即v＝limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→0st0＋Δt－st0Δt.瞬时速度就是位移函数对时间的瞬时变化率.思考(1)瞬时变化率的实质是什么？(2)平均速度与瞬时速度的区别与联系是什么？答案(1)其实质是当平均变化率中自变量的改变量趋于0时的值，它是刻画函数值在某处变化的快慢.(2)①区别：平均变化率刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x0点处变化的快慢；②联系：当Δx趋于0时，平均变化率ΔyΔx趋于一个常数，这个常数即为函数在x0处的瞬时变化率，它是一个固定值.知识点三导数的概念函数y＝f(x)在x＝x0处的导数一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|0xx，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx.思考(1)函数f(x)在x0处的导数满足什么条件时存在？(2)求解函数f(x)在x0处导数的步骤是什么？答案(1)函数f(x)在x0处可导，是指Δx→0时，ΔyΔx有极限，如果ΔyΔx不存在极限，就说函数在点x0处无导数.(2)求解函数f(x)在x0处导数的步骤如下：①求函数值的增量：Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；②求平均变化率：ΔyΔx＝fx0＋Δx－fx0Δx；③取极限，得导数：f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx.题型一求平均变化率例1求函数y＝f(x)＝2x2＋3在x0到x0＋Δx之间的平均变化率，并求当x0＝2，Δx＝12时该函数的平均变化率.解当自变量从x0变化到x0＋Δx时，函数的平均变化率为ΔyΔx＝fx0＋Δx－fx0Δx＝[2x0＋Δx2＋3]－2x20＋3Δx＝4x0Δx＋2Δx2Δx＝4x0＋2Δx.当x0＝2，Δx＝12时，平均变化率的值为4×2＋2×12＝9.反思与感悟平均变化率是函数值的增量与相应自变量的增量的比值，所以求函数在给定区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率问题，即求ΔyΔx＝fx0＋Δx－fx0Δx的值.跟踪训练1(1)已知函数y＝f(x)＝2x2－1的图象上一点(1,1)及其邻近一点(1＋Δx,1＋Δy)，则ΔyΔx＝.答案2Δx＋4解析因为Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(Δx)2＋4Δx，所以平均变化率ΔyΔx＝2Δx＋4.(2)求函数y＝f(x)＝1x2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率(x0≠0).解∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝1x0＋Δx2－1x20＝－Δx2x0＋Δxx0＋Δx2x20，∴ΔyΔx＝－Δx2x0＋Δxx0＋Δx2x20Δx＝－2x0＋Δxx0＋Δx2x20.题型二实际问题中的瞬时速度例2一作直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2(位移单位：m，时间单位：s).(1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t＝2时的瞬时速度；(3)求t＝0到t＝2时的平均速度.解(1)初速度v0＝limΔt→0sΔt－s0Δt＝limΔt→03Δt－Δt2Δt＝limΔt→0(3－Δt)＝3.即物体的初速度为3m/s.(2)v瞬＝limΔt→0s2＋Δt－s2Δt＝limΔt→032＋Δt－2＋Δt2－3×2－4Δt＝limΔt→0－Δt2－ΔtΔt＝limΔt→0(－Δt－1)＝－1.即此物体在t＝2时的瞬时速度为1m/s，方向与初速度方向相反.(3)v＝s2－s02－0＝6－4－02＝1.即t＝0到t＝2时的平均速度为1m/s.反思与感悟作变速直线运动的物体在不同时刻的速度是不同的，Δt趋近于0，指时间间隔Δt越来越小，但不能为0，Δt，Δs在变化中都趋近于0，但它们的比值趋近于一个确定的常数.跟踪训练2已知一物体作自由落体运动，下落的高度的表达式为s＝12gt2，其中g为重力加速度，g≈9.8米/平方秒(s的单位：米).(1)求t从3秒到3.1秒、3.01秒、3.001秒、3.0001秒各段内的平均速度；(2)求t＝3秒时的瞬时速度.解(1)当t在区间[3,3.1]上时，Δt＝3.1－3＝0.1(秒)，Δs＝s(3.1)－s(3)＝12g·3.12－12g·32≈2.989(米).v1＝ΔsΔt≈2.9890.1＝29.89(米/秒).同理，当t在区间[3,3.01]上时，v2≈29.449(米/秒)，当t在区间[3,3.001]上时，v3≈29.4049(米/秒)，当t在区间[3,3.0001]上时，v4≈29.40049(米/秒).(2)ΔsΔt＝s3＋Δt－s3Δt＝12g3＋Δt2－12g·32Δt＝12g(6＋Δt)，limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→012g(6＋Δt)＝3g≈29.4(米/秒).所以t＝3秒时的瞬时速度约为29.4米/秒.题型三函数在某点处的导数例3求函数y＝x－1x在x＝1处的导数.解Δy＝(1＋Δx)－11＋Δx－(1－11)＝Δx＋Δx1＋Δx，ΔyΔx＝Δx＋Δx1＋ΔxΔx＝1＋11＋Δx，∴limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0(1＋11＋Δx)＝2，从而y′|x＝1＝2.反思与感悟求函数在x＝x0处的导数的步骤：(1)求函数值的增量，Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；(2)求平均变化率，ΔyΔx＝fx0＋Δx－fx0Δx；(3)取极限，f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx.跟踪训练3求函数y＝4x2在x＝2处的导数；解∵Δy＝4Δx＋22－422＝4Δx＋22－1＝－Δx2＋4ΔxΔx＋22，∴ΔyΔx＝－Δx＋4Δx＋22，∴limΔx→0ΔyΔx＝－limΔx→0Δx＋4Δx＋22＝－1.因对导数的概念理解不到位致误例4设函数f(x)在x0处可导，且f′(x0)已知，求下列各式的极限值.(1)limΔx→0fx0－Δx－fx0Δx；(2)limh→0fx0＋h－fx0－h2h.错解(1)limΔx→0fx0－Δx－fx0Δx＝f′(x0).(2)limh→0fx0＋h－fx0－h2h＝12limh→0fx0＋h－fx0－hh＝12f′(x0).错因分析在导数的定义中，增量Δx的形式是多种多样的，但不论Δx是哪种形式，Δy必须选择相对应的形式.如(1)中Δx的改变量为Δx＝x0－(x0－Δx)，(2)中Δx的改变量为2h＝(x0＋h)－(x0－h).正解(1)limΔx→0fx0－Δx－fx0Δx＝－limΔx→0fx0－Δx－fx0－Δx＝－lim－Δx→0fx0－Δx－fx0－Δx＝－f′(x0).(2)limh→0fx0＋h－fx0－h2h＝lim2h→0fx0＋h－fx0－h2h＝f′(x0).防范措施自变量的改变量Δx的值为变后量与变前量之差.1.在求解平均变化率时，自变量的变化量Δx应满足()A.Δx＞0B.Δx＜0C.Δx≠0D.Δx可为任意实数答案C解析因平均变化率为ΔyΔx，故Δx≠0.2.沿直线运动的物体从时间t到t＋Δt时，物体的位移为Δs，那么limΔt→0ΔsΔt为()A.从时间t到t＋Δt时物体的平均速度B.t时刻物体的瞬时速度C.当时间为Δt时物体的速度D.从时间t到t＋Δt时位移的平均变化率答案B解析v＝ΔsΔt，而limΔt→0ΔsΔt则为t时刻物体的瞬时速度.3.函数f(x)＝x在x＝1处的导数为.答案12解析∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝1＋Δx－1，∴ΔyΔx＝1＋Δx－1Δx＝11＋Δx＋1，∴f′(1)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→011＋Δx＋1＝12.4.设f(x)在x0处可导，若limΔx→0fx0＋3Δx－fx0Δx＝A，则f′(x0)＝.答案13A解析limΔx→0fx0＋3Δx－fx0Δx＝3lim3Δx→0fx0＋3Δx－fx03Δx＝3f′(x0)＝A.故f′(x0)＝13A.5.以初速度为v0(v0＞0)作竖直上抛运动的物体，t秒时的高度为s(t)＝v0t－12gt2，求物体在t0时刻的瞬时加速度.解∵Δs＝v0(t0＋Δt)－12g(t0＋Δt)2－v0t0＋12gt20＝(v0－gt0)Δt－12g(Δt)2，∴ΔsΔt＝v0－gt0－12gΔt.当Δt→0时，ΔsΔt→v0－gt0.∴物体在t0时刻的瞬时速度为v0－gt0.由此，类似地可得到物体运动的速度函数为v(t)＝v0－gt，∴ΔvΔt＝v0－gt0＋Δt－v0－gt0Δt＝－g.∴当Δt→0时，ΔvΔt→－g.故物体在t0时刻的瞬时加速度为－g.1.求平均变化率的步骤：(1)求Δy，Δx.(2)求ΔyΔx.2.求瞬时速度的一般步骤：(1)求Δs及Δt.(2)求ΔsΔt.(3)求limΔt→0ΔsΔt.3.利用定义求函数f(x)在x＝x0处的导数：(1)求函数的改变量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0).(2)求ΔyΔx.(3)y′|0xx＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx.一、选择题1.质点运动规律s＝t2＋3，则在时间[3,3＋Δt]中，相应的平均速度等于()A.6＋ΔtB.6＋Δt＋9ΔtC.