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第三章弹性与塑性应力应变关系2020/3/21周书敬第三章弹性与塑性应力应变关系1前面两章分别从静力学和几何学的角度出发,导出了平衡(微分)方程和几何方程,这些方程均与物体的材料性质(物理性质)无关,因而适用于任何连续介质。但仅用这些方程还不能求解土木工程领域的实际力学(弹塑性)问题。对土木工程领域的一个实际力学问题(正问题),需要求解的未知量通常包括应力、内力和位移。由于平衡方程仅建立了力学参数(应力分量与外力分量)之间的联系,而几何方程也仅建立了运动学参数(位移分量与应变分量)之2020/3/21周书敬第三章弹性与塑性应力应变关系2间的联系,所以,平衡方程和几何方程是两类完全相互独立的方程,它们之间还缺乏必要的联系。对于所求解的问题来讲,因为未知量数目多于任何一类方程的个数,所以,无法利用这两类方程求得全部未知量。为了求解具体的力学问题,还必须引进一些关系式,这些关系式即是所谓的本构关系。本构关系反映可变形固体材料的固有特性,故也称为物理关系,它实际上是一组联系力学参数和运动学参数的方程式,即本构方程。也就是反映可变形固体材料应力和应变之间关系的方程。下面我们仅以简单拉压为例来介绍一下本构方程。第一节拉伸和压缩时的应力应变曲线•一、低碳钢的拉伸实验•图3-1为简单拉伸时的应力应变曲线。2020/3/21周书敬第三章弹性与塑性应力应变关系31、比例变形阶段:OA段在此阶段中,应力和应变之间的关系是线性的,即可用胡克定律(Hooke)表示。E(3-1)式中:E—弹性模量(moculusofelastics);2020/3/21周书敬第三章弹性与塑性应力应变关系4A点对应的应力称为比例极限(Propotionallimit)2、弹性变形阶段:AB段这时,与之间的关系不再是线性,但变形仍然是弹性的;B点对应的应力称为弹性极限(elasticlimit)。注:对许多材料来讲,A,B两点非常接近,所以工程上对弹性极限和比例极限并不严格区分。3、屈服阶段:BD段当应力超过弹性极限之后,将出现应变增加很快,而应2020/3/21周书敬第三章弹性与塑性应力应变关系5力则在很小范围内波动,这种应力变化不大而应变显著增加的现象称为屈服或流动。C点和D点对应的应力分别称为材料的上屈服极限和下屈服极限,但在实际应用中一般都采用下屈服极限作为材料的屈服极限(yieldlimit)记作。s4、塑性流动阶段:DH段在这一阶段中,虽然应力没有增加,应变却在不断增加。Hb段:强化阶段由H点开始出现强化现象,即试件上只有应力增加时,应变才能增加。2020/3/21周书敬第三章弹性与塑性应力应变关系6如果在材料的屈服阶段或强化阶段卸载,则卸载线为图3-1中的,可以看出当逐渐卸除拉力,应力和应变关系将沿着与OB平行的斜线和回到点和点。OHOD、HDOHOO如果由点开始再加载,则加载过程仍沿线进行,直到H点后材料才开始屈服,因此材料的比例极限得到了提高。O'HO5、局部变形阶段:b点以后在b点之前,试件处于均匀的应变状态,到达b点之后,试件出现颈缩现象,如果再继续拉伸,则变形将集中在颈缩区进行,最后试件将被拉断。2020/3/21周书敬第三章弹性与塑性应力应变关系7二、没有明显屈服阶段的材料的拉伸实验(图3-2)如:中碳钢、高碳钢、黄铜,对于没有明显屈服阶段的材料,通常以产生0.2%的塑性应变时所对应的应力作为屈服极限,并称为名义屈服极限用表示。2.02020/3/21周书敬第三章弹性与塑性应力应变关系8三、包辛格效应:见图3-3。)(rBaisehinge若自点继续卸载(即压缩),则反向加载时屈服极限不仅比小,而且还比初始屈服极限小,这里的是自点点拉伸到屈服时的屈服极限,这种具有强化性质的材料随着塑性变形的增加,屈服极限在一个方向上提高,而在相反方向降低的效应称为包辛格反应。OssOss2020/3/21周书敬第三章弹性与塑性应力应变关系9一般认为“包辛格效应”是由多晶材料晶界间的残余应力引起的。“包辛格效应”使材料具有各向异性性质。理想包辛格效应:若一个方向屈服极限提高的数值和相反方向屈服极限降低的数值相等,则称为理想包辛格效应。包辛格效应的数学描述比较复杂,因而在塑性力学中,对这一效应的数学描述经常要进行相应的简化。四、名义应力与真实应力在一般的拉伸实验中,设为初始截面积,P为外载,则有:0A0/AP名义应力:若试件标距长度为,伸长为,则有:0ll2020/3/21周书敬第三章弹性与塑性应力应变关系10名义应变:0/ll这里的并不是试件截面上的真实应力,这是因为在拉伸过程中,试件截面是逐渐缩小的。这种现象在应力到达b点之前,往往可以认为对应力应变曲线的精度影响不大。但过了b点之后,试件发生颈缩,截面面积的较大变化对于应力的计算将有明显的影响。若试件截面上的真实应力用表示,A为某一瞬间试件的实际截面积,则应有:T由于,所以有。0ATAPT/(3-2)真实应力:2020/3/21周书敬第三章弹性与塑性应力应变关系11根据体积不可压缩假设,应有:AllA00(3-3)lAlA/00(3-4))1()1()(000000lllllAPlAPlT(3-5)由(3-5)式很容易由应力应变曲线得到真实应力应变曲线(图3-4)。2020/3/21周书敬第三章弹性与塑性应力应变关系122020/3/21周书敬第三章弹性与塑性应力应变关系13五、压缩实验关于通过压缩试验,获得塑性变形时的真实的应力应变曲线的过程,见书P77~80。)1(0APAPT(3-6)0/1HH第二节简单应力状态的本构方程•对于不同的材料,不同的应用领域,其本构方程是完全不同的,特别是对于塑性力学问题其应力应变关系为非线性,叠加原理不能应用,而且应力应变关系还和变形的历史有关。•根据不同材料简单拉压试验,提出以下几种不同的简化力学模型(本构方程),在第0章已给出过,在此给出具体分析。2020/3/21周书敬第三章弹性与塑性应力应变关系142020/3/21周书敬第三章弹性与塑性应力应变关系15在弹性变形阶段,把应力与应变之间看成是一种线性关系。1、理想弹性塑性(材料)模型(见图a)ssEE=ss(3—9)当材料进入塑性状态后,若不考虑材料的强化性质,则可得到理想弹塑性模型。这里的强化指的是当材料在经过塑性形变后,于第二次加载时的弹性极限提高了。sso(a)理想弹塑性模型E2020/3/21周书敬第三章弹性与塑性应力应变关系16分析式(3-9),该式中只包含了材料常数和,故不能描述应力应变曲线的全部特征;又由于在处解析表达式有变化,给具体计算带来一定困难。该力学模型抓住了韧性材料的主要特征,因而与实际情况符合得较好。ss2、(双)线性强化弹塑性模型(图b)当考虑材料强化性质时,可采用该模型。其解析表达式为(3-10)sso(b)线性强化弹塑性模型AB)(1ssEEss(3-10)2020/3/21周书敬第三章弹性与塑性应力应变关系17具有这种应力应变关系的材料,称为弹塑性线性强化材料。这种近似的力学模型对某些材料是足够精确的。如果AB的斜率足够小,则作为理想弹塑性体考虑并不致于产生很大的误差,但计算却可大为简化。如果AB的斜率大到不能忽略时,则应按式(3-10)进行计算。这个模型和理想弹塑性模型虽然相差不大,但具体计算却要复杂的多。为了避免解析式在处的变化,有时可采用幂强化力学模型。(见图c)s2020/3/21周书敬第三章弹性与塑性应力应变关系183、幂强化(效应)力学模型10nAn01nAnA(3-11)上式所代表的曲线在处与轴相切,而且有:0当时,为理想弹性模型;1n当时,为理想刚塑性模型(图c);0n当时,没有线弹性阶段。10nsos(c)理想刚塑性模型卸载线2020/3/21周书敬第三章弹性与塑性应力应变关系19在许多实际工程问题中,弹性应变比塑性应变小的多,因而可以忽略弹性应变,这时采用幂强化模型较合适。对于“刚塑性力学模型”,其假设为:在应力达到屈服极限之前应变为零。具有线性强化性质的刚塑性力学模型(见图d),其卸载线也是平行于轴的。(d)线性强化刚塑性模型)(1ssEso卸载线E1为该线的斜率。2020/3/21周书敬第三章弹性与塑性应力应变关系204、强化后卸载,再进行反向加载的模型(1)等向(各向同性)强化模型ks这种模型表示材料当由于拉伸而提高了反向屈服应力,且反向屈服应力得到同样大的提高。so等向(各向同性)强化模型(2)随动强化模型sos随动强化模型符合理想包辛格效应的情况,即若一个方向屈服极限提高的数值和反向屈服极限降低的数值相等。2020/3/21周书敬第三章弹性与塑性应力应变关系21在塑性成形理论中的多数情况下,塑性应变一般都比弹性应变大得多,所以忽略弹性应变而只考虑塑性应变是合理的,对总体的计算结果影响不大。采用刚塑性模型给数学计算带来较大的简化,是许多复杂问题能获得完整的解析表达式。应用比较广泛的力学模型是:理想弹塑性力学模型,幂强化力学模型,理想刚塑性力学模型。第三节广义胡克定律2020/3/21周书敬第三章弹性与塑性应力应变关系22dGeneralize(sHook')Law这里研究的是复杂应力状态下的弹性本构方程。对各向同性均匀材料,其广义胡克定律为:)]([1)]([1)]([1xyzzzxyyzyxxEEEGGGzxzxyzyzxyxy(3-1)(书:3-13)2020/3/21周书敬第三章弹性与塑性应力应变关系23其中,E为弹性模量(modulusofelasticity)为泊松比(Poisson’sratio)G为剪切弹性模量(Shearmodulusofelasticity))1(2EG(3-2)将式(3-1)的前三式相加后,则有:)(21)](2)[(1zyxzyxzyxzyxEE三个(工程弹性)常数中,实际上独立的只有两个。2020/3/21周书敬第三章弹性与塑性应力应变关系24而:003,3zyxzyx则有:E21(3-3)或:0021E(3-4)(书:3-14)上式表明,体积应变与三个主应力之和成正比。引入上式则广义胡克定律又可写为:zzyyxxEEE)1(1)1(1)1(1zxzxyzyzxyxyGGG111(3-4)(书:3-14)2020/3/21周书敬第三章弹性与塑性应力应变关系25由式(3-4)和(3-5)可以得出:)(1213)1(121)1(100000xxxxEEEEE即得应变偏量分量与应力偏量分量的关系式xexSxxxSGSEe211式中,,。0xxe0xxS同理可得:应变偏量分量和,即有(3-6)(书:3-16):yeze2020/3/21周书敬第三章弹性与塑性应力应变关系26zzzyyyxxxSGSEeSGSEeSGSEe211211211(3-6)(书:3-16)由式(3-5)和(3-6)可知:在弹性阶段中有:GSeSeSezxzxyzyzxyxyzzyyxx21222用主应力偏量和主应变偏量表示时,则有:GSeSeSe213322112020/3/21周书敬第三章弹性与塑性应力应变关系27由此可得:GSSeeSSe
本文标题:弹性与塑性应力应变关系
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