2012届高考数学二轮复习精品课件(大纲版)专题5 第17讲 空间直线、平面的位置关系及简单的几何

第17讲空间直线、平面的位置关系及简单的几何体第18讲空间角与距离专题五直线、平面、简单几何体专题五直线、平面、简单几何体知识网络构建专题五│知识网络构建考情分析预测专题五│考情分析预测考向预测近几年高考立体几何试题以基础题和中难度题为主，热点问题主要有证明点线面的位置关系，如点共线、线共点、线共面问题；证明空间线面平行、垂直关系；求空间的角和距离；将空间的性质及位置关系的判定与向量运算相结合，使几何问题代数化等．重点是点线面位置关系的定性与定量考查，算中有证，其中选择、填空题注重几何符号语言、文字语言、图形语言三种语言的相互转化，考查学生对图形的识别、理解能力；解答题则一般将线面集中于一个几何体中，即以一个多面体为依托，设置几个小问，设问形式以证明或计算为主．预计大纲地区2012年的高考，仍保持此趋势．专题五│考情分析预测备考策略二轮复习时，需着重掌握如下一些问题：在二轮复习时，主要关注以下几方面：突出点、线、面之间关系的转化是立体几何解题的一个基本策略，其中“线面关系”是转换枢纽，“垂直”是构建相应结构的关键与核心．对于空间的直线与平面的位置关系，主要是通过网络图或框图构建完整的知识体系，尤其是对线线、线面、面面三种位置关系形成相互转化的网络体系，能够做到熟练地转化和迁移．对于空间的角与距离的问题，要熟练掌握求解的方法，对于传统方法，在求解的过程中，要有作图过程和立体几何的定理做依据，如果采用向量法，要注意计算的正确性．球的组合体问题首先要记住球的表面积和体积公式，记住球的组合体中几个常用的数据，只要找到了球心到截面的距离、截面圆半径以及球半径之间的关系，就能轻松将其解决．专题五│近年高考纵览第17讲空间直线、平面的位置关系及简单几何体第17讲空间直线、平面的位置关系及简单几何体主干知识整合第17讲│主干知识整合,1.空间线线、线面、面面之间的位置关系直线与平面垂直的有关问题可以利用直线与平面垂直的判定及性质定理来解．平面与平面平行与垂直是两种重要的位置关系，与它们有关的问题可以用两个平面平行与垂直的判定与性质定理来解决．2.几何体的折叠与展开(1)折叠：设一个平面图形A被某一线段PQ分为两部分F1和F2，沿线段PQ折叠A，得到空间图形有两个方面的内涵：①位于折叠线PQ同侧的几何对象(如点、线段或角等)，即F1或F2中的几何对象，相互之间的位置关系、数量关系，折叠前后没有变化；②位于折叠线PQ两侧的几何对象，即F1与F2的几何对象，相互之间的位置关系、数量关系都可能发生变化．第17讲│主干知识整合(2)展开：一般适用于多面体表面上两点间的最短距离问题，其利用的解题原理是平面内两点之间线段最短．展开后，有些点可能会“一分为二”，需进行合理的标记以区分展开前后点的变化情况．3．球与多面体的切与接用一个平面去截一个球，截面是圆面．球的截面有下面性质：(1)球心与截面圆心的连线垂直于截面．(2)球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r的关系为：d2＝R2－r2.球的很多问题是通过球的截面平面化后，转化为圆的问题来解决的，此时要注意区分大圆与小圆．球与多面体的切与接问题，首先要弄清位置关系，选择最佳角度作截面，一般是过球心及多面体中的特殊点或线作截面，把空间问题化归为平面问题，从而在平面内解决．例1[2011·四川卷]l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面要点热点探究第17讲│要点热点探究►探究点一空间两条直线关系的判断【分析】对四个备选答案逐一判断，正确的找出依据，错误的要能举出反例．B【解析】对于A，直线l1与l3可能异面；对于C，直线l1、l2、l3可能构成三棱柱三条侧棱所在直线时而不共面；对于D，直线l1、l2、l3相交于同一个点时不一定共面.所以选B.第17讲│要点热点探究【点评】几乎每年的高考都会有一个小题考查有关线面位置关系真假的判断，线线、线面、面面垂直与平行的判定定理和性质定理及有关空间的概念是解决命题真假判断的方法和依据，实物的简单演示法、特例法模型的使用是解决问题的法宝．第17讲│要点热点探究已知直线l、m，平面α、β，且l⊥α，m⊂β，给出下列四个命题：①若α∥β，则l⊥m；②若l⊥m，则α∥β；③若α⊥β，则l∥m；④若l∥m，则α⊥β.其中正确的命题个数为()A.1B.2C.3D.4B【解析】对于①，由定理“若一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它也垂直于另一个平面”得知，直线l⊥β，又m⊂β，因此有l⊥m，①正确；对于②，此时平面α，β可能是相交平面，如当α∩β＝m时，相关的条件都满足，但结论不成立，因此②不正确；对于③，显然此时由条件不能得知l∥m，因此③不正确；对于④，由定理“若两条平行直线中的一条与一个平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”得知，直线m⊥α，又m⊂β，因此有α⊥β，④正确．综上，正确的命题有2个．第17讲│要点热点探究►探究点二直线与平面的平行与垂直例2[2011·全国卷]如图17－1，四棱锥S－ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形．AB＝BC＝2，CD＝SD＝1.(1)证明：SD⊥平面SAB；(2)求AB与平面SBC所成的角的大小．图17－1【分析】(1)要证一条直线垂直于一个平面，只要证明直线与平面内两相交直线垂直即可．(2)求线面角，若直接法不好求可转化为线上的某个点到面的距离与该点到斜足的距离之比为线面角的正弦值来解决．第17讲│要点热点探究【解答】解法一：(1)取AB中点E，连接DE，则四边形BCDE为矩形，DE＝CB＝2.连接SE，则SE⊥AB，SE＝3.又SD＝1，故ED2＝SE2＋SD2，所以∠DSE为直角．由AB⊥DE，AB⊥SE，DE∩SE＝E，得AB⊥平面SDE，所以AB⊥SD.SD与两条相交直线AB、SE都垂直．所以SD⊥平面SAB.(2)由AB⊥平面SDE知，平面ABCD⊥平面SDE.作SF⊥DE，垂足为F，则SF⊥平面ABCD，SF＝SD×SEDE＝32.作FG⊥BC，垂足为G，则FG＝DC＝1.第17讲│要点热点探究连接SG，则SG⊥BC.又BC⊥FG，SG∩FG＝G，故BC⊥平面SFG，平面SBC⊥平面SFG.作FH⊥SG，H为垂足，则FH⊥平面SBC.FH＝SF×FGSG＝37，即F到平面SBC的距离为217.由于ED∥BC，所以ED∥平面SBC，故E到平面SBC的距离d也为217.设AB与平面SBC所成的角为α，则sinα＝dEB＝217，α＝arcsin217.解法二：以C为坐标原点，射线CD为x轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz.设D(1,0,0)，则A(2,2,0)，B(0,2,0)．又设S(x，y，z)，则x0，y0，z0.(1)AS→＝(x－2，y－2，z)，BS→＝(x，y－2，z)，DS→＝(x－1，y，z)，由|AS→|＝|BS→|得x－22＋y－22＋z2＝x2＋y－22＋z2，故x＝1，第17讲│要点热点探究由|DS→|＝1得y2＋z2＝1，又由|BS→|＝2得x2＋(y－2)2＋z2＝4，即y2＋z2－4y＋1＝0，故y＝12，z＝32.于是S1，12，32，AS→＝－1，－32，32，BS→＝1，－32，32，DS→＝0，12，32，DS→·AS→＝0，DS→·BS→＝0.故DS⊥AS，DS⊥BS，又AS∩BS＝S，所以SD⊥平面SAB.(2)设平面SBC的法向量a＝(m，n，p)，则a⊥BS→，a⊥CB→，a·BS→＝0，a·CB→＝0.又BS→＝1，－32，32，CB→＝(0,2,0)，故m－32n＋32p＝0，n＝0.取p＝2得a＝(－3，0,2)．又AB→＝(－2,0,0)，所以cos〈AB→，a〉＝AB→·a|AB→|·|a|＝217.故AB与平面SBC所成的角为arcsin217.第17讲│要点热点探究【点评】本题以四棱锥为载体考查线面垂直证明和线面角的计算．利用传统的方法证明直线与平面垂直的关键是在平面内找到两条相交直线与已知直线垂直，在证明的过程中，要充分利用平面几何的知识，以达到通过平面内的垂直关系证明空间的垂直关系的目的．第17讲│要点热点探究►探究点三平面与平面的平行与垂直例3[2011·江苏卷]如图17－2，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E、F分别是AP、AD的中点．求证：(1)直线EF∥平面PCD；(2)平面BEF⊥平面PAD.图17－2第17讲│要点热点探究【分析】要证直线EF∥平面PCD，只要证明EF与平面PCD内某条直线平行即可．要证两平面垂直通常证明其中一个平面经过另外一个平面的一条垂线．【解答】证明：(1)在△PAD中，因为E，F分别为AP，AD的中点，所以EF∥PD.又因为EF⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，所以直线EF∥平面PCD.(2)连接BD，因为AB＝AD，∠BAD＝60°，所以△ABD为正三角形，因为F是AD的中点，所以BF⊥AD.因为平面PAD⊥平面ABCD，BF⊂平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BF⊥平面PAD.又因为BF⊂平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAD.第17讲│要点热点探究【点评】本题考查空间线面的位置关系，证明线面平行、面面垂直问题，考查空间想象能力和计算能力．空间线面平行的关键在于在平面内找出一条直线与该直线平行，一般此类问题与三角形的中位线有关，而面面垂直问题的关键在于找出其中一个平面的垂线．第17讲│要点热点探究如图17－3，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N、P分别为所在边的中点，O为面对角线A1C1的中点．(1)求证：面MNP∥面A1C1B；(2)求证：MO⊥面A1C1B.图17－3第17讲│要点热点探究【解答】证明：(1)连接D1C，MN为△DD1C的中位线，∴MN∥D1C.又∵D1C∥A1B，∴MN∥A1B.同理MP∥C1B.而MN与MP相交，MN，MP⊂面MNP；A1B与BC1相交，A1B,BC1⊂面A1C1B.∴面MNP∥面A1C1B.(2)连接C1M和A1M，设正方体的边长为a，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，C1M＝A1M，又∵O为A1C1的中点，∴A1C1⊥MO，连接BO和BM，在三角形BMO中，经计算知OB＝62a，MO＝32a，BM＝32a，∴OB2＋MO2＝MB2，即BO⊥MO.而A1C1，BO⊂面A1C1B，∴MO⊥面A1C1B.第17讲│要点热点探究例4[2011·课标全国卷]已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB＝6，BC＝23，则棱锥O－ABCD的体积为________．【分析】要求棱锥O－ABCD的体积，关键是要求点O到平面ABCD的距离，矩形对角线的交点即为截面圆的圆心，结合球的性质可知球心O与截面圆圆心的连线垂直于截面圆．►探究点四球与多面体的组合问题83【解析】如图，由题意知，截面圆的直径为62＋232＝48＝43，所以四棱锥的高OO1＝OA2－O1A2＝16－12＝2，所以其体积V＝13S矩形ABCD·OO1＝13×6×23×2＝83.第17讲│要点热点探究【点评】本题考查球的组合体问题，在球的组合体中，球的所有截面都是圆，而矩形的对角线恰好是其外接圆的直径，本题中经过截面圆圆心和球心的直线必垂直于截面圆这一性质对解决此题起着至关重要的作用．第17讲│要点热点探究若半径为R的球与正三棱柱的各个面都相切，则球与正三棱柱的体积比为()A.4327πB.2327πC.33πD.36πB【解析】球的半径为R，设三棱柱的高为h，底面边长为a，分析知：三棱柱底面三角形的内切圆与球的大圆大小相同，三棱柱的高与球的直径等长，即h＝2R，a＝23R，则三棱柱的体积为V＝34×(23R)