精品北师大必修五不等式总结

高二不等式单元知识总结一、不等式的性质1．两个实数a与b之间的大小关系(1)ab0ab(2)ab=0a=b(3)ab0ab－＞＞；－；－＜＜．若、，则＞＞；；＜＜．abR(4)ab1ab(5)ab=1a=b(6)ab1ab2．不等式的性质(1)abba()＞＜对称性(2)abbcac()＞＞＞传递性(3)abacbc()＞＋＞＋加法单调性abc0acbc＞＞＞(4)(乘法单调性)abc0acbc＞＜＜(5)abcacb()＋＞＞－移项法则(6)abcdacbd()＞＞＋＞＋同向不等式可加(7)abcdacbd()＞＜－＞－异向不等式可减(8)ab0cd0acbd()＞＞＞＞＞同向正数不等式可乘(9)ab00cdbd()＞＞＜＜＞异向正数不等式可除ac(10)ab0nNab()nn＞＞＞正数不等式可乘方(11)ab0nNa()n＞＞＞正数不等式可开方bn(12)ab01a()＞＞＜正数不等式两边取倒数1b3．绝对值不等式的性质(1)|a|a|a|=a(a0)a(a0)≥；≥，－＜．(2)如果a＞0，那么|x|axaaxa22＜＜－＜＜；|x|axaxaxa22＞＞＞或＜－．(3)|a·b|＝|a|·|b|．(4)|ab|(b0)＝≠．||||ab(5)|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|．(6)|a1＋a2＋……＋an|≤|a1|＋|a2|＋……＋|an|．二、不等式的证明1．不等式证明的依据(1)abab0abab0ab0abab0abab=0a=b实数的性质：、同号＞；、异号＜－＞＞；－＜＜；－(2)不等式的性质(略)(3)重要不等式：①|a|≥0；a2≥0；(a－b)2≥0(a、b∈R)②a2＋b2≥2ab(a、b∈R，当且仅当a=b时取“=”号)③≥、，当且仅当时取“”号ab2ab(abRa=b=)2．不等式的证明方法(1)比较法：要证明a＞b(a＜b)，只要证明a－b＞0(a－b＜0)，这种证明不等式的方法叫做比较法．用比较法证明不等式的步骤是：作差——变形——判断符号．(2)综合法：从已知条件出发，依据不等式的性质和已证明过的不等式，推导出所要证明的不等式成立，这种证明不等式的方法叫做综合法．(3)分析法：从欲证的不等式出发，逐步分析使这不等式成立的充分条件，直到所需条件已判断为正确时，从而断定原不等式成立，这种证明不等式的方法叫做分析法．证明不等式除以上三种基本方法外，还有反证法、数学归纳法等．三、解不等式1．解不等式问题的分类(1)解一元一次不等式．(2)解一元二次不等式．(3)可以化为一元一次或一元二次不等式的不等式．①解一元高次不等式；②解分式不等式；③解无理不等式；④解指数不等式；⑤解对数不等式；⑥解带绝对值的不等式；⑦解不等式组．2．解不等式时应特别注意下列几点：(1)正确应用不等式的基本性质．(2)正确应用幂函数、指数函数和对数函数的增、减性．(3)注意代数式中未知数的取值范围．3．不等式的同解性(1)f(x)g(x)0f(x)0g(x)0f(x)0g(x)0·＞与＞＞或＜＜同解．(2)f(x)g(x)0f(x)0g(x)0f(x)0g(x)0·＜与＞＜或＜＞同解．(3)f(x)g(x)0f(x)0g(x)0f(x)0g(x)0(g(x)0)＞与＞＞或＜＜同解．≠(4)f(x)g(x)0f(x)0g(x)0f(x)0g(x)0(g(x)0)＜与＞＜或＜＞同解．≠(5)|f(x)|＜g(x)与－g(x)＜f(x)＜g(x)同解．(g(x)＞0)(6)|f(x)|＞g(x)①与f(x)＞g(x)或f(x)＜－g(x)(其中g(x)≥0)同解；②与g(x)＜0同解．(7)f(x)g(x)f(x)[g(x)]f(x)0g(x)0f(x)0g(x)02＞与＞≥≥或≥＜同解．(8)f(x)g(x)f(x)[g(x)]f(x)02＜与＜≥同解．(9)当a＞1时，af(x)＞ag(x)与f(x)＞g(x)同解，当0＜a＜1时，af(x)＞ag(x)与f(x)＜g(x)同解．(10)a1logf(x)logg(x)f(x)g(x)f(x)0aa当＞时，＞与＞＞同解．当＜＜时，＞与＜＞＞同解．0a1logf(x)logg(x)f(x)g(x)f(x)0g(x)0aa