数学建模讲座(经典)

数学模型教育与数学建模竞赛马新生南昌大学数学系[e-mail]数学模型简介数学建模竞赛简介数学建模竞赛赛题与论文数学建模文化杂谈数学模型教育与数学建模竞赛一、数学模型简介•什么是数学模型•数学建模基本步骤•数学模型课程玩具、照片、飞机、火箭模型……~实物模型水箱中的舰艇、风洞中的飞机……~物理模型地图、电路图、分子结构图……~符号模型模型是为了一定目的，对客观事物的一部分进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征我们常见的模型你碰到过的数学模型——“航行问题”用x表示船速，y表示水速，列出方程：75050)(75030)(yxyx答：船速每小时20千米/小时.甲乙两地相距750千米，船从甲到乙顺水航行需30小时，从乙到甲逆水航行需50小时，问船的速度是多少?x=20y=5求解航行问题建立数学模型的基本步骤•作出简化假设（船速、水速为常数）；•用符号表示有关量（x,y表示船速和水速）；•用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以时间）列出数学式子（二元一次方程）；•求解得到数学解答（x=20,y=5）；•回答原问题（船速每小时20千米/小时）。数学模型(MathematicalModel)和数学建模（MathematicalModeling)对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据其内在规律，作出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。建立数学模型的全过程（包括表述、求解、解释、检验等）数学模型数学建模数学建模的重要意义电子计算机的出现及飞速发展；数学以空前的广度和深度向一切领域渗透；数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步，越来越受到人们的重视；在一般工程技术领域数学建模仍然大有用武之地；在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具；数学进入一些新领域，为数学建模开辟了许多处女地。数学建模计算机技术知识经济如虎添翼数学模型课程的内容数学模型概论初等数学方法建模（代数、几何、初等概率方法）微分方程模型（动态模型，常微部分）优化模型概率模型计算机模拟统计模型数学软件：Mathematica,Matlab,Lindo/Lingo、SAS、SPSS等南昌大学数学模型系列课程高等数学实验数学模型数学软件高等数学（数学分析）线性代数（高等代数）概率论与数理统计复变函数数理方程推荐参考书籍马新生,陈涛,陈钰菊.高等数学实验[M].北京：科学出版社，2005.姜启源,谢金星,叶俊.数学模型[M].北京：高等教育出版社，2003.薛定宇,陈阳泉.高等应用数学问题的MATLAB求解(第二版)[M].北京：清华大学出版社,2008.谢金星,薛毅.优化建模与LINDO\LINGO软件[M].北京：清华大学出版社,2005.推荐参考书籍二、数学建模竞赛简介（1）CUMCM竞赛历程（2）预测2008年参赛队数（3）AMCM竞赛（4）竞赛内容和形式（5）赛事指南（6）网上资源（7）南昌大学参赛情况1988.6叶其孝教授在美国讲学期间向美国大学生数学建模竞赛发起者和负责人Fusaro教授了解这项竞赛的情况，商讨中国学生参赛的办法和规则。1989.2.24～26我国大学生（北京大学、清华大学、北京理工大学共4个队）首次参加美国大学生数学建模竞赛，自此每年我国都有同学参加这项竞赛。（1）CUMCM竞赛历程1989.3《高校应用数学学报》第4卷第1期发表叶其孝教授的文章“美国大学生数学建模竞赛及一些想法”，第一次向国内介绍这项竞赛。1990.12.7～9上海市举办大学生（数学类）数学模型竞赛，这是我国省、市级首次举办数学建模竞赛。1992.11.27～291992年部分城市大学生数学模型联赛举行，这是全国性的首届竞赛，10省（市）79所院校的314队参加。1993.10.15～171993年全国大学生数学建模竞赛举行，16省（市）101所院校的420队参加。1994.10.28～301994年全国大学生数学建模竞赛举行，21省（市、自治区）196所院校的870队参加。2005年30个省（市、自治区）的795所院校8492队25476多名学生参赛（其中甲组6556队，乙组1936队）。2007年30个省（市、自治区）的969所院校11742队35226名学生参赛。1994年起由教育部高教司和CSIAM共同举办，每年一次(9月)全国大学生数学建模竞赛全国高校规模最大的课外科技活动年份省（市、自治区）数院校数队数1992107931419931610142019942119686719952325912341996253371683199726373187419982640021031999264602657200027517321020012752938612002295714458200330638540620043072168812005307958492200630864998520073096911742全国大学生数学建模竞赛问题：预测2008年参赛队数？图1.历年全国大学生数学建模竞赛参赛队数表1.历年全国大学生数学建模竞赛参赛队数情况表（2）预测2008年参赛队数年份院校数队数队数增长率%199279314199310142033.761994196867106.431995259123442.331996337168336.391997373187411.351998400210312.221999460265726.342000517321020.812001529386120.282002571445815.462003638540621.272004721688127.282005795849223.412006864998517.5820079691174217.60199219941996199820002002200420062008102030405060708090100110YearRateofteams图2.全国大学生数学建模竞赛参赛队数增长率微分方程模型（连续）简单计算公式x(t)~时刻t的队数trtxtxttx)()()(假设：年增长率r为常数k年后0)0(,xxrxdtdxrtextx0)(trex)(0trx)1(0随着时间增加，队数按指数规律无限增长！？kkkrxrxx)1()1(01应用年增长率r=？预测2008年参赛队数为15127.68！r≈平均增长率0.2883实际12834，相对误差17.84%检验曲线拟合假设时刻t的队数x(t)为：mmttatataatfx...)(2210其中，ai为常数，i=0,1,…,m，为待定参数，利用历史数据确定。？225.5625.25784.1001ttxt取m＝2,利用matlab软件计算，得一般情况下,如何选取模型，模型中参数如何确定，如何检验模型的正确性?……02468101214161802000400060008000100001200014000RealdataForecastingdata图3.全国大学生数学建模竞赛参赛队数及预测值应用预测2008年参赛队数为12884（12883.62）实际12834，相对误差0.39%检验•1985年开始举办数学建模竞赛(MCM)。•1999年开始增办交叉学科竞赛(ICMInterdisciplinaryContestinModeling).（3）AMCM竞赛中美参赛队数比较图4.中美参赛队数比较预测值每年出两道题(甲组:A,B题;乙组:C,D题),任选一题.A,C为连续型题目;B,D为离散型题目要求参赛选手运用数学、计算机技术和问题背景学科等方面知识，解决该极富挑战性的实际问题。题目由工程技术、管理科学中的实际问题简化而成，没有事先设定的标准答案，但留有充分余地供参赛者发挥其聪明才智和创造精神。（4）数学建模竞赛内容和形式•开卷形式的通讯比赛，可以使用任意图书资料和互联网，自由的收集资料、调查研究。•由三名学生组成一队，各队任选一竞赛题。在三（四）天时间内，分工合作完成一篇论文。竞赛形式没有事先设定的标准答案评奖标准：假设的合理性、建模的创造性、结果的正确性、文字表述的清晰程度。竞赛宗旨：创新意识团队精神重在参与公平竞争（5）数学建模竞赛赛事指南•美国数学建模竞赛（MCM/ICM）（1985/2000）美国工业与应用数学学会•全国大学生数学建模竞赛（CUMCM）(1994)教育部高教司、中国工业与应用数学学会•全国高校研究生数学建模竞赛（2003）东南大学•华东地区高校大学生数学建模邀请赛（1999）:复旦大学•全国大学生电工数学建模竞赛（2003）：电机工程学会电工数学专委会主办•苏北数学建模联赛（2004）：中国矿业大学（徐州）•东北三省数学建模联赛（2006）华北电力大学•南昌大学数学建模竞赛（NCUMCM，2003）：南昌大学•MCM/ICM网站:•数学模型：•CUMCM网站:mcm.edu.cn•南昌大学数学建模中心：•大学生数学建模邀请赛：math.fudan.edu.cn/shumo/•电工数学建模网：•东北三省数学建模联赛：dbdldx.51.net/zhucext/•苏北数学建模联赛：cumcm.com•两个著名网站：，•各高校数学建模网（6）数学建模网上资源（7）南昌大学参赛回顾1995年，南昌大学开始参加CUMCM.•2003年，南昌大学开始参加MCM.•2004年，南昌大学举办校内数学建模竞赛.•1995年以来我们组织学生参加全国大学生数学建模竞赛，2003年以来参加美国大学生数学建模竞赛，共获国际一等奖2项，国际二等奖6项，国际三等奖16项；全国一等奖21项，全国二等奖35项，江西省一、二、三等奖共计150余项。•2004年，南昌大学开始参加部分高校研究生数学建模竞赛，获全国一等奖1项、二等奖2项南昌大学学生获奖情况南昌大学参加全国大学生数学建模竞赛获奖情况012345679596979899000102030405060708年份个数一等奖二等奖图6.南昌大学学生参加CUMCM获奖统计三、数学建模赛题与论文•AMCM赛题一览•CUMCM赛题一览•CUMCM赛题解法简介•竞赛论文简介美国数学建模竞赛试题CUMCM赛题一览CUMCM赛题解法初探优化方法一般函数优化：用微积分的方法解决（小规模）；规划问题：包括线性规划、非线性规划、多目标规划、动态规划、整数优化、组合优化、网络优化等。概率统计方法参数估计，回归分析，聚类分析，排队论，判别分析，假设检验，方差分析等。微分方程方法常微分方程（组）、偏微分方程，稳定性分析、预测。解析解和数值解。图论方法最短路问题，最大流问题，最小生成树等。计算机技术曲线拟合，插值,参数估计，大数据量处理，图像处理，随机模拟，各种算法实现，神经网络方法等。综合评价方法层次分析法，决策分析，对策论，模糊综合评价等。表2.历年全国大学生数学建模竞赛赛题解法续表2.历年全国大学生数学建模竞赛赛题解法图5.全国大学生数学建模竞赛赛题解法统计图0510152025优化方法概率统计微分方程图论综合评价计算机技术是竞赛评定成绩的唯一依据。是竞赛活动成果的集中表现。是科技论文写作的前期训练。竞赛论文的重要作用CUMCM竞赛论文竞赛论文评阅的“四项基本原则”竞赛论文的基本内容4原则；5要素；8模块竞赛论文写作的“五条基本要素”竞赛论文结构的“八个基本模块”•假设的合理性；•建模的创造性；•结果的合理性；•文字表述的清晰程度。竞赛论文评阅的