采样定理

连续信号离散信号t0f(t)t0f(t)…01010010111101010100111…模拟信号数字信号模拟信号抽样等处理连续信号Ts2离散信号tf(t)0-3T-2T-TT2T3Tf(t)0-3T-2T-TT2T3TtT：采样周期:采样频率s采样频率密集到什么程度时才可以无失真地恢复出原始信号？时域波形频谱)(tf)(jF0()ftt0)(jFmm时域频域傅里叶变换0)(jFmm)(jF0mmss0()ftt-3T-2T-TT2T3Tf(t)0-3T-2T-TT2T3Tt…………0)(jFmm0mm)(jF0)(jFmm0mm)(jF……………………抽样量化A/D转换器数字信号处理器D/A转换器数字信号处理系统简单框图analoguesignaldigitalsignal模拟信号输入模拟信号输出编码1.时域抽样定理连续时间信号f(t)抽样的工作原理)(tf()pt()()()sftftpt抽样器相当于一个定时开关，它每隔Ts秒闭合一次，tofs(t)抽样器tofs(t)Tsf(t)f(t)抽样模型抽样开关信号每次闭合时间为τ秒，从而得到样值信号fs(t)。抽样脉冲序列•问题：*抽样后离散信号的频谱是什么样的？它与未被抽抽样的连续信号的频谱有什么关系？*连续信号被抽样后，是否保留了原信号的所有信息？即在什么条件下，可以从抽样信号中恢复出原始信号？抽样时域频域矩形脉冲抽样(自然抽样)冲激抽样(理想抽样)低通带通、带阻、高通频率采样结构设计FIR滤波器)(tf()pt()()()sftftpt设信号f(t)为带限信号，且()()ftFj()()ptPj如果抽样为均匀抽样，周期为Ts，则抽样角频率为22ssfTp(t)是周期信号，其傅立叶变换为()2()nnPjFn其中221()ssTjntTnsFptedtT•抽样信号的频谱抽样脉冲序列oTs2Ts-Ts2Ts(1)tP(t)()()()sTsnptttnT抽样脉冲p(t)是周期冲激函数，即()sTt1()()*()2sFjFjPj抽样信号的频谱为2211()ssTjntTnssFtedtTT的傅立叶级数系数()sTt12()()*[()]2snsFjFjnT1()*()nsFjnT1[()]nsFjnT抽样信号的频谱2()()()()sTnspttPjnT的傅立叶变换()sTt()()()sftftpt)(tf0t乘积卷积0())(tfs0t)1(0tsT0()sFjsT1时域抽样频域周期重复()()sTsnttnT()nn)(jF01mm1[()]nsFjnT()()ssnfnTtnT抽样性周期性抽样频率的选择mmm2ms1T2mf或抽样频率必须选得大于信号频谱最高频率的两倍！信号在时域被抽样后，其频谱是连续信号的频谱以取样角频率为间隔，周期地重复而得到。)(jF()sFjm0()sFjsT1m在重复过程中，幅度被抽样脉冲p(t)的傅立叶系数加权，加权系数取决于取样脉冲序列的形状。时域抽样定理()Fj1()2smTsf抽样定理的两个限制条件：(1)f(t)为带限信号，如果f(t)是带宽有限的连续信号，其频谱的最高频率为fmHz，则以抽样间隔对信号f(t)进行等间隔抽样，所得的抽样信号fs(t)将包含原信号f(t)的全部信息。m2sffm12sTf即当|ω|＞ωm时，F(jω)=0。(2)或。mf21Tsmf21Ts奈奎斯特抽样间隔：mff2s奈奎斯特抽样频率：奈奎斯特抽样角频率：2m)(tf0t()Fj01mmsT0)(tftm)(jFs0sT1m0t)(tfsT()sFj0sT1()sFj0sT12m抽样定理的工程应用)j(F10许多实际工程信号不满足带限条件。)j(Hmm10)(tf)(1tf)(th)j(1Fmm10抗混叠滤波器混叠误差与截断误差比较)j(F10T1)j(sFmΩΩm0......)j(sFT1mΩΩm0......)j(1Fmm10（2）矩形脉冲抽样(自然抽样)抽样脉冲p(t)是周期矩形脉冲函数，其傅立叶级数系数为221()()2ssTjntTnssnFptedtSaTT1()()*2()2snnFjFjFn()*()()2nsnFjSanT()()()sftftpt()[()]2nsnSaFjnT)(tf0t)(tfs0t()Fj0()Pj0022222sTsT1mm()pt0tsT1()sFj2()()2nsnSanT()[()]2nsnSaFjnT()()()sTsnptttnT)()(snnTtgtp()()nPjn()2()nnPjFn()2nsnFSaTsnTF11()[()]snsFjFjnT()()[()]2snsnFjSaFjnT)(*)(21)(jPjFjFs)(*)(21)(jPjFjFs2()msTg样值信号fs(t)经过一个截止频率为ωm的理想低通滤波器，就可从Fs(jω)中取出F(jω)，从时域来说，就恢复出了连续时间信号f(t)。)()()(jHjFjFs式中，H(jω)为理想低通滤波器的频率特性。()0smmTHjtotofs(t)Ts理想低通滤波器fs(t)H(j)＝F(j)×Fs(j)o－mm－Fs(j)TsAo－mmH(j)Tso－mmF(j)Af(t)f(t)频域根据傅里叶变换的时域卷积性质，得)(*)()(thtftfs)()()(snssnTtnTftf利用傅里叶变换的对称性质，有)()(tSaTthmms另外()()*()smssmnTfnTtnTSat2()()msHjTg时域nsmsnTtSanTftf))(()()(当抽样间隔时，上式可写为msfT21()[()*()]()[()]smssmnsmsmsnTfnTtnTSatTfnTSatnTnsmsnTtSanTftf))(()()()(th0t)(jFsmmcc)(jH1scT0t)(tfssT)(tf卷积包络sTsT0mm)(jF相乘00t例.已知实信号f(t)的最高频率为fm(Hz)，试分别对信号f(2t)抽样时，最小抽样频率为4fm(Hz)；对f(t)*f(2t)抽样时，最小抽样频率为2fm(Hz)；对f(t)f(2t)抽样时，最小抽样频率为6fm(Hz)解：根据信号时域与频域的对应关系及抽样定理得对f(t)+f(2t)抽样时，最小抽样频率为4fm(Hz)；计算对信号f(2t),f(t)+f(2t),f(t)*f(2t),f(t)f(2t)抽样不混叠的最小抽样频率。频域抽样是对信号的频谱函数在频率ω轴上每隔取得一个样值，从而得到频域样值函数的过程。()ssFjns()Fj()ft频域抽样定理：一个在时间区间以外为零的时间有限信号，其频谱函数可以由其在均匀频率间隔上的样点值惟一地确定，只要其(,)mmtt()ft()Fjsf频率间间隔小于或等于。()ssFjnsf12mt()()(())mnmmnnFjFjSattto()Fj1so()sso()ssFjno()fttomtsT()sfto1()sTstttsTmt1ssTsT1s1mtmt预置低通滤波器取样信号处理低通滤波恢复信号f(t)f(t)当频谱无限宽，最高频率fm无法定时，如人为确定后，恢复会有误差。若信号f(t)最高频率m已知，工程上一般取ms)10~5(若系统的带宽B已知，一般取Bs)10~5(若干扰信号的最高频率为f，应满足fs2在工业控制系统中，取样周期的经验数据如下：流量信号：Ts=1~5(秒)压力信号：Ts=3~10(秒)液位信号：Ts=6~8(秒)温度信号：Ts=15~20(秒)-0.1-0.08-0.06-0.04-0.0200.020.040.060.080.1-2-1012原信号时间t(s)-100-80-60-40-20020406080100050100原信号幅度频谱频率f(Hz)图2-0.1-0.08-0.06-0.04-0.0200.020.040.060.080.1-2-1012由取样频率fs=80恢复后的信号时间t(s)-100-80-60-40-20020406080100050100恢复后信号的频谱频率f(Hz)图3sf=80Hz恢复后信号波形及频谱-0.1-0.08-0.06-0.04-0.0200.020.040.060.080.1-2-1012原信号时间t(s)-100-80-60-40-20020406080100050100原信号幅度频谱频率f(Hz)原始信号sf=120Hz-0.1-0.08-0.06-0.04-0.0200.020.040.060.080.1-1012由取样频率fs=120恢复后的信号时间t(s)-100-80-60-40-20020406080100050100150恢复后信号的频谱频率f(Hz)-0.1-0.08-0.06-0.04-0.0200.020.040.060.080.1-2-1012原信号时间t(s)-100-80-60-40-20020406080100050100原信号幅度频谱频率f(Hz)原始信号-0.1-0.08-0.06-0.04-0.0200.020.040.060.080.1-2-1012由取样频率fs=150恢复后的信号时间t(s)-100-80-60-40-20020406080100050100150恢复后信号的频谱频率f(Hz)sf=150Hz原始信号-0.1-0.08-0.06-0.04-0.0200.020.040.060.080.1-2-1012原信号时间t(s)-100-80-60-40-20020406080100050100原信号幅度频谱频率f(Hz)