4.1原函数与不定积分的概念

第四章不定积分§4.1不定积分的概念§4.2不定积分的性质和基本积分公式§4.3换元积分法§4.4分部积分法经济数学前面我们已经研究了一元函数微分学。但在科学技术领域中，还会遇到与此相反的问题：即寻求一个可导函数，使其导数等于一个已知函数。从而产生了一元函数积分学。积分学分为不定积分和定积分两部分。本章我们先从导数的逆运算引出不定积分的概念然后介绍其性质，最后着重系统地介绍积分方法。经济数学如果在区间I内，定义：可导函数)(xF的即Ix，都有)()(xfxF或dxxfxdF)()(，那么函数)(xF就称为)(xf导函数为)(xf，或dxxf)(在区间I内原函数.§4.1原函数与不定积分的概念一、原函数的概念与性质1、原函数的概念（反导数antiderivative)经济数学例如，xxcossinxsin是xcos的原函数.)0(1lnxxxxln是x1在区间),0(内的原函数.经济数学问题：是否任何一个函数都存在原函数？考察如下的例子0100)(xxxf若存在可导函数)()()(xfxFxF使)(xf则由的定义时当0x0)()(xfxF1)(CxF时当0x0)()(xfxF2)(CxF2、原函数的存在定理经济数学21CC（左、右极限存在且相等）CxF)(0)0(F而已知1)0()0(fF得出矛盾，这说明)(xf没有原函数处连续在可导由0)()(xxFxF经济数学原函数存在定理：如果函数)(xf在区间I内连续，那么在区间I内存在可导函数)(xF，使Ix，都有)()(xfxF.既然不是每一个函数都有原函数，那么我们自然要问：具备什么条件的函数才有原函数？对此我们给出如下的结论：简言之：连续函数一定有原函数.（证明待下章给出）经济数学注意：（1）连续是存在原函数的充分条件而不是必要条件。即原函数存在的函数不一定连续（可能有第二类间断点）（2）求分段函数的原函数时，应先分别求函数的各段在相应区间内的原函数，然后考察函数在分段点处的连续性，若连续，则在包含该点的区间内原函数存在；若分段点是第一类间断点，则在包含该点的区间内，不存在原函数。经济数学问题：原函数是否唯一？若不唯一，它们之间有什么联系？①若，则对于任意常数，)()(xfxFCCxF)(都是)(xf的原函数.②若和都是的原函数，)(xF)(xG)(xf则CxGxF)()(（为任意常数）C证)()()()(xGxFxGxF0)()(xfxfCxGxF)()(（为任意常数）C3、原函数的性质经济数学任意常数积分号被积函数二、不定积分的概念在区间I内，CxFdxxf)()(被积表达式积分变量函数)(xf的带有任意常数项的原函数称为)(xf在区间I内的不定积分，记为dxxf)(.为求不定积分，只须求出被积函数的一个原函数再加上积分常数即可(indefiniteintegral)经济数学注意：（1）不定积分就是全体原函数cxFdxxfIxxfxF)()(),)(()()2(则若（3）不定积分的几何意义:不定积分代表一族曲线，称为积分曲线族。cxFdxxf)()(经济数学xxfd)(的图形的所有积分曲线组成的平行曲线族.yxo0x经济数学例1求.5dxx解,656xx.665Cxdxx解例2求.112dxx,11arctan2xx.arctan112Cxdxx经济数学例3设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.解设曲线方程为),(xfy根据题意知,2xdxdy即)(xf是x2的一个原函数.,22Cxxdx,)(2Cxxf由曲线通过点（1，2）,1C所求曲线方程为.12xyyxo)2,1(注意：求不定积分得到一积分曲线族.经济数学思考题符号函数0,10,00,1sgn)(xxxxxf在内是否存在原函数？为什么？),(经济数学思考题解答不存在.假设有原函数)(xF0,0,0,)(xCxxCxCxxF但)(xF在0x处不可微，故假设错误所以在内不存在原函数.),()(xf结论每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数.经济数学一、填空题：1、一个已知的函数，有______个原函数，其中任意两个的差是一个______；2、)(xf的________称为)(xf的不定积分；3、把)(xf的一个原函数)(xF的图形叫做函数)(xf的________，它的方程是)(xFy，这样不定积dxxf)(在几何上就表示________，它的方程是CxFy)(；4、由)()('xfxF可知，在积分曲线族CxFy)()(是任意常数C上横坐标相同的点处作切线，这些切线彼此是______的；5、若)(xf在某区间上______，则在该区间上)(xf的原函数一定存在；练习题经济数学二、一曲线通过点)3,(2e，且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数，求该曲线的方程.三、证明函数xxexexeexxxxsinhcoshcoshsinh,212都是和的原函数.经济数学一、1、无穷多,常数；2、全体原函数；3、积分曲线,积分曲线族；4、平行；5、连续；练习题答案二、1lnxy