2016年上海数学理科考卷

2016年高考真题理科数学(上海卷)理科数学考试时间：____分钟题型填空题单选题简答题总分得分填空题（本大题共14小题，每小题____分，共____分。）1．设，则不等式的解集为__________．2．设，其中为虚数单位，则__________．3．:，:，则的距离为__________．4．某次体检，位同学的身高（单位：米）分别为，则这组数据的中位数是__________（米）．5．已知点在函数的图像上，则的反函数__________．6．如图，在正四棱柱中，底面的边长为，与底面所成角的大小为，则该正四棱柱的高等于__________．7．方程在区间上的解为__________．8．在的二项式中，所有项的二项式系数之和为，则常数项等于__________．9．已知的三边长为，则该三角形的外接圆半径等于__________．10．设，若关于的方程组无解，则的取值范围是__________．11．无穷数列由个不同的数组成，为的前项和，若对任意，，则的最大值为__________．12．在平面直角坐标系中，已知，，是曲线上一个动点，则的取值范围是__________．13．设，，若对任意实数都有，则满足条件的有序实数组的组数为__________．14．如图，在平面直角坐标系中，为正八边形的中心，，任取不同的两点，点满足，则点落在第一象限的概率是__________．单选题（本大题共4小题，每小题____分，共____分。）15．设，则“”是“”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件16．下列极坐标方程中，对应的曲线为右图的是（）A.B.C.D.17．已知无穷等比数列的公比为，前项和为，且，下列条件中，使得恒成立的是（）A.，B.，C.，D.，18．设是定义域为的三个函数，对于命题：①若，，均为增函数，则中至少有一个为增函数；②若，，均是以为周期的函数，则均是以为周期的函数．下列判断正确的是（）A.①和②均为真命题B.①和②均为假命题C.①为真命题，②为假命题D.①为假命题，②为真命题简答题（综合题）（本大题共5小题，每小题____分，共____分。）将边长为的正方形（及其内部）绕旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，其中与在平面的同侧．19.求三棱锥的体积；20.求异面直线与所成角的大小．有一块正方形菜地，所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到点或河边运走．于是，菜地分为两个区域和，其中中的蔬菜运到河边较近，中的蔬菜运到点较近，而菜地内和的分界线上的点到河边与到点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点为的中点，点的坐标为，如图．21.求菜地内的分界线的方程；22.菜农从蔬菜运量估计出面积是面积的两倍，由此得到面积的“经验值”为．设是上纵坐标为的点，请计算以为一边，另一边过点的矩形的面积，及五边形的面积，并判断哪一个更接近于面积的经验值．双曲线的左、右焦点分别为、，直线过且与双曲线交于两点．23.若的倾斜角为，是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；24.设，若的斜率存在，且，求的斜率．已知，函数．25.当时，解不等式；26.若关于的方程的解集中恰有一个元素，求的取值范围；27.设，若对任意，函数在区间上的最大值和最小值的差不超过，求的取值范围．若无穷数列满足：只要，必有，则称具有性质．28.若具有性质．且，，，，，求；29.若无穷数列是等差数列，无穷数列是公比为正数的等比数列，，，，判断是否具有性质，并说明理由；30.设是无穷数列，已知，求证：“对任意，都具有性质”的充要条件为“是常数列”．答案填空题1.2.3.4.5.6.7.或8.9.10.11.12.13.14.单选题15.A16.D17.B18.D简答题19.20.21.；22.矩形面积；五边形面积；五边形的面积更接近的面积．23.24.25.或26.或或27.．28.29.不具有性质30.，是常数列．解析填空题1.，即，故解集为．2.，故3.的距离为．4.将数据按从小到大排列：，取最中间的两个数，则中位数为．5.将点的坐标代入函数的解析式，得，故，∴∴∴6.∵平面，∴与底面所成的角为，在中，，，，∴，即正四棱柱的高为．7.，即．∴∴又∵∴或8.，．通项．取，常数项为．9.不妨设三边分别为，由余弦定理可得，∴，∴由正弦定理可得．10.由已知，有又，∴，且，∴11.根据题意，或；∵∴从第二项开始，所有可能的取值为由题意无穷数列由个不同的数组成，那么在同一个数列中，它们只可能是或∴的最大值为4．12.设，，则，，∴．13.①当时，若，则；若，则；②当时，若，则；若，则．共组．14.任取不同的两个点的所有可能为；符合要求的有序点对的组合有5种：．∴符合要求的点落在第一象限的概率是．单选题15.设，，则．由子集与推出关系可知“”是“”的充分非必要条件．16.本题可以采用排除法，当时，值最小．显然符合要求的选项为D．17.，，，即若，则，不可能成立若，则，B成立18.①不成立，可举反例，，②前两式作差，可得结合第三式，可得，也有∴②正确．故选D．简答题19.连，则∴为正三角形∴又三棱锥的高为∴20.设点在下底面圆周的射影为，连，则∴为直线与所成角（或补角）连，∴∴∴为正三角形∴∴∴∴直线与所成角大小为．21.设分界线上任一点为，依题意，有可得22.设，则∴∴设所表述的矩形面积为，则过作，交于，交于，设五边形面积为，则∵，∴五边形的面积更接近的面积．23.由已知，取，得∵，∴即∴∴渐近线方程为24.若，则双曲线为∴，设，，则，，∴(*)∵∴∴代入(*)式，可得直线的斜率存在，故∴设直线为，代入得∴，且∴∴∴直线的斜率为25.∴不等式的解集为或26.依题意，∴①可得即②当时，方程②的解为，代入①式，成立当时，方程②的解为，代入①式，成立当且时，方程②的解为或若为方程①的解，则，即若为方程①的解，则，即要使得方程①有且仅有一个解，则综上，若原方程的解集有且只有一个元素，则的取值范围为或或27.在上单调递减依题意，即∴，即设，则当时，当时，∵函数在递减∴∴∴的取值范围为28.由题意知∴∴∴∴∴29.设的公差为，的公差为，则∴∴∴∴∴∵，而，但，故不具有性质．30.充分性：若为常数列，设则若存在使得，则，故具有性质．必要性：若对任意，具有性质则设函数，由图像可得，对任意的，二者图像必有一个交点∴一定能找到一个，使得∴∴故∴是常数列．