1.7定积分的简单应用(zi用)

1.7.1定积分在几何中的应用badxxfA)(badxxfxfA)]()([121.平面图形的面积:()()|()()bbaafxdxFxFbFa[其中F´(x)=f(x)]xyo)(xfyabAxyo)(1xfy)(2xfyabA2.微积分基本定理:一、复习Oxyabyf(x)xa、xb与x轴所围成的曲边梯形的面积。当f(x)0时，积分dxxfba)(在几何上表示由y=f(x)、当f(x)0时积分baf(x)dx在几何上表示由yf(x)、xa、xb与x轴所围成的曲边梯形面积的负值xyOabyf(x)baf(x)dxcaf(x)dxbcf(x)dx。Sbaf(x)dxcaf(x)dxbcf(x)dx。=s3.定积分的几何意义:()bafxdx类型一.求由一条曲线y=f(x)和直线x=a,x=b(ab)及x轴所围成平面图形的面积SbccabccadxxfdxxfdxxfdxxfS)()()(|)(|)3(badxxfS)()1(badxxfS)()2((2)xyoabc)(xfy(3)(1)xyo)(xfyab练习.求抛物线y=x2-1，直线x=2，y=0所围成的图形的面积。yx解：如图：由x2-1=0得到抛物线与x轴的交点坐标是(-1,0)，(1,0).所求面积如图阴影所示：所以：112212)1()1(dxxdxxS38)3()3(113123xxxx类型一：由一条曲线和直线所围成平面图形的面积的求解类型2：由两条曲线y=f(x)和y=g(x)，直线x=a,x=b(ab)所围成平面图形的面积Syxoba)(xfy)(xgy(2))(xfy)(xgy(1)总结：当x∈[a，b]有f(x)g(x)时，由直线x＝a，x＝b(a≠b)和曲线y＝f(x)，y＝g(x)围成的平面图形的面积S＝.bafxgxdx注：例1.计算由两条抛物线xy2和2xy围成图形的面积.解:作出y2=x,y=x2的图象如图所示:即两曲线的交点为(0,0),(1,1)120S=(x-x)dx323102()|33xx.31边边曲梯形OABC曲梯形OABDS=S-Soxy2yx2yx2xyyxABCDO11200xdxxdx11002yxyxxyxy或解方程组两曲线围成的平面图形的面积的计算求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤:(1)作出示意图;(弄清相对位置关系)(2)求交点坐标;(确定积分的上限,下限)(3)确定积分变量及被积函数;(4)列式求解.例2计算由曲线2yx，直线4xy以及x轴所围成的图形的面积.解:两曲线的交点(0,0),(8,4).24yxyx直线与x轴交点为(4,0)2yx4yx880424()xdxxdxS1S248812044224[()]SSSxdxxdxxdx488044224()()xdxxdxxdx3828204221404323|()|xxx802124842()sxdx法：38202283|x2240162833练习1（例2变式题）：计算由曲线xy22和直线4xy所围成的图形的面积解:两曲线的交点).4,8(),2,2(422xyxyxy224xy12280222224()SSSxdxxxdx1S1S2S2yx3322822022222124332|()|xxxx练习16642618333212xy4xy练习2：计算由曲线xxy63和2xy所围成的图形的面积.解:两曲线的交点).9,3(),4,2(),0,0(236xyxxy32012)6(xAdxxx23320(6)xAxxdx2xyxxy631A2A于是所求面积21AAAdxxxxA)6(2023dxxxx)6(3230.12253说明：注意各积分区间上被积函数的形式．练习练习33xyx20y1解所围成的图形如图所示：3xy求2,1xx与直线轴所围成的及x平面图形的面积。203013dxxdxxs417则dxx222dxx222yox2-222331x33)2(231316练习4计算：由曲线曲边梯形的面积x直线2,2xx和轴所围成的,)(2xxfS=-解:2)(xxf练习5如图所示由2)(xxf4y和所围图形的面积是多少？2)(xxfyox2-2-44ysABCDS曲边梯形解:BDCASABCD-4431616dxx222-3321.7.2定积分在物理中的应用Oab()vvttv设做变速直线运动的物体运动的速度v=v(t)≥0，则此物体在时间区间[a,b]内运动的距离s为()basvtdt一、变速直线运动的路程例1一辆汽车的速度——时间曲线如图所示，求汽车在这1min行驶的路程。v/m/st/s10406030OABC)06t(40901.5t-40)t(103010)t(03ttv解：由速度－时间曲线可知：10040106040)905.1(303dttdttdtS6040240101002)9043(3023tttt)(1350m例题法二：由定积分的几何意义，直观的可以得出路程即为如图所示的梯形的面积，即30603013502so102030405060102030CBAs/ts/m/v37.1图二、变力沿直线所作的功1、恒力作功由物理学知道，如果物体在作直线运动的过程中有一个不变的力F作用在这物体上，且这力的方向与物体的运动方向一致，那么，在物体移动了距离s时，力F对物体所作的功为sFW.2、变力所做的功Oab()yFxxFix问题：物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从x=a点移动到x=b点，则变力F(x)所做的功为:()baWFxdx例2:如图：在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离水平位置l米处，求克服弹力所作的功．解：在弹性限度内，拉伸（或压缩）弹簧所需的力Ｆ(x)与弹簧拉伸（或压缩）的长度x成正比即：F(x)=kx所以据变力作功公式有2200011()|()22LLLWFxdxkxdxkxklJ答:克服弹力所作功的功为21.2klJ例题练一练1.设弹簧在1N力的作用下伸长0.01米，要使弹簧伸长0.1米，需作多少功？解xoxkFx如图：建立直角坐标系。因为弹力的大小与弹簧的伸长（或压缩）成正比，即kxF比例系数已知01.0,1xNF代入上式得100k从而变力为xF100所求的功1.00100xdxWJ5.0练一练2.如果1N力能拉长弹簧1cm,为了将弹簧拉长6cm,克服弹力所作的功为()(A)0.18J(B)0.26J(C)0.12J(D)0.28JA练一练3.一物体在力10(02)()34(2)xFxxx≤≤(单位:N)的作用下,沿着与力F相同的方向,从x=0处运动到x=4处(单位:m),则力F(x)所作的功为()J(A)44(B)46(C)48(D)50B424002()10(34)WFxdxdxxdx析：22402310|(4)|46()2xxxJ练一练4一点在直线上从时刻t=0(s)开始以速度v=t2-4t+3(m/s)运动,求:(1)在t=4s的位移;(2)在t=4s运动的路程.(1),t=4s时刻该点距出发点4/3m(2)t=4s时刻运动的路程为44204(43)3ttdt134222013(43)|(43)|(43)4Sttdtttdtttdt设物体运动的速度vv(t)(v(t)≥0)，则此物体在时间区间[a,b]内运动的路程s为()basvtdt1、变速直线运动的路程2、变力沿直线所作的功物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从x=a点移动到x=b点，则变力F(x)所做的功为:()baWFxdx小结