等差数列的概念

数列数列数列数列6.2.1等差数列的概念问题某工厂的仓库里堆放一批钢管，共堆放了7层，试从上到下列出每层钢管的数量.每层钢管数为4，5，6，7，8，9，10．等差数列一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列．这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示）．抢答：下列数列是否为等差数列？1，2，4，6，8，10，12，…①0，1，2，3，4，5，6，…②3，3，3，3，3，3，3，…③2，4，7，11，16，…④－8，－6，－4，-2，0，2，4，…⑤3，0，－3，－6，－9，…⑥√√√√说出下列等差数列的公差．0，1，2，3，4，5，6，…②3，3，3，3，3，3，3，…③-8，-6，-4，-2，0，2，4，…⑤3，0，-3，-6，-9，…⑥d=1d=0d=2d=-3常数列根据等差数列的定义填空a2＝a1＋d，a3＝＋d＝（）＋d＝a1＋d，a4＝＋d＝（）＋d＝a1＋d，……an＝＋d．a2a1+d2a3a1+2d3a1（n–1）等差数列的通项公式例1求等差数列8，5，2，…的通项公式和第20项．解因为a1＝8，d＝5－8＝－3，所以这个数列的通项公式是an=8＋(n－1)×(－3)，即an＝－3n＋11．所以a20＝－3×20＋11＝－49.例2等差数列－5，－9，－13，…的第多少项是－401？解因为a1＝－5，d＝－9－(－5)＝－4，an＝－401，所以－401＝－5＋(n－1)×(－4)．解得n＝100．即这个数列的第100项是－401．（1）求等差数列3，7，11，…的第4，7，10项；（2）求等差数列10，8，6，…的第20项．在等差数列{an}中：（1）d＝－，a7＝8，求a1；（2）a1＝12，a6＝27，求d．31例3在3与7之间插入一个数A，使3，A，7成等差数列．解因为3，A，7成等差数列，所以A－3＝7－A，2A＝3＋7．解得A＝5．一般地，如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项．A＝a+b2求下列各组数的等差中项：（1）732与－136；（2）与42．249例4已知一个等差数列的第3项是5，第8项是20，求它的第25项．解因为a3＝5，a8＝20，根据通项公式得整理，得解此方程组，得a1＝－1，d＝3．所以a25＝－1＋(25－1)×3＝71.a1＋(3－1)d＝5a1＋(8－1)d＝20a1＋2d＝5a1＋7d＝20（1）已知等差数列{an}中，a1=3，an=21，d=2，求n．（2）已知等差数列{an}中，a4=10，a5=6，求a8和d．例5梯子的最高一级是33cm，最低一级是89cm，中间还有7级，各级的宽度成等差数列．求中间各级的宽度．解用{an}表示题中的等差数列．已知a1=33，an=89，n=9，则a9=33+（9－1）d，即89=33+8d，解得d=7．于是a2=33+7=40，a3=40+7=47，a4=47+7=54，a5=54+7=61，a6=61+7=68，a7=68+7=75，a8=75+7=82．即梯子中间各级的宽从上到下依次是40cm，47cm，54cm，61cm，68cm，75cm，82cm．例6已知一个直角三角形的三条边的长度成等差数列．求证：它们的比是3∶4∶5．证明设这个直角三角形的三边长分别为a－d，a，a＋d．根据勾股定理，得(a－d)2＋a2＝(a＋d)2．解得a=4d．于是这个直角三角形的三边长是3d，4d，5d，即这个直角三角形的三边长的比是3∶4∶5．1．等差数列的定义及通项公式．2.等差中项的定义及公式．3．等差数列定义、通项公式和中项公式的应用．教材P17，习题第1，2，6题．