2017年下教师资格证科目三高级数学真题

2017年下半年中小学教师资格考试数学学科知识与教学能力试题（高级中学）注意事项：1．考试时间为120分钟，满分为150分。2．请按规定在答题卡上填涂、作答。在试卷上作答无效，不予评分。一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案字母按要求涂黑。错选、多选或未选均无分。1．矩阵012301-120的秩为（）。A．0B．1C．2D．32．当ｘ→ｘ0时，与ｘ−ｘ0是等价无穷小的为（）。A．sin（ｘ−ｘ0）B．ｅｘ−ｘ0C．（ｘ−ｘ0）２D．ln｜ｘ−ｘ0｜3．下列四个级数中条件收敛的是（）。A．ｎ＝１∞１ｎB．ｎ＝１∞１ｎ２C．ｎ＝１∞（−１）ｎ１ｎ２D．ｎ＝１（−１）ｎ１ｎ4．下列关于椭圆的论述，正确的是（）。①平面内到两个定点的距离之和等于常数的动点轨迹是椭圆②平面内到定直线和直线外的定点距离之比为大于1的常数的动点轨迹是椭圆③从椭圆的一个焦点发出的射线，经椭圆反射后通过椭圆另一个焦点④平面与圆柱面的截线是椭圆正确的个数是（）。A．0B．1C．2D．35．下列多项式为正定二次型的是（）。A．x１２＋x２２−x３２B．x１２＋2x１x２−x２x３＋5x２２＋x３２C．3x１x２−x２２−x３２D．3x１x２＋2x２x３−4x１x３6．已知随机变量X服从正态分布Ｎ（μ，2），设随机变量Y=2X-3，则Y服从的分布是（）。A．Ｎ（2μ−3，22−3）B．Ｎ（2μ−3，42）C．Ｎ（2μ−3，42+9）D．Ｎ（2μ−3，42−9）7．“等差数列”和“等比数列”概念之间的关系是（）。A．交叉关系B．同一关系C．属种关系D．矛盾关系8．在集合、三角函数、导数及其应用、平面向量和空间向量五个内容中，属于高中数学必修课程内容的有（）。A．1个B．2个C．3个D．4个二、简答题（本大题共5小题，每小题7分，共35分）9．在线性空间Ｒ３中，已知向量α１=（1，2，1），α２=（2，1，4），α３=（0，-3，2），记V１={λ１＋μ２｜λ，μ∈Ｒ}，V２={ｋ３｜ｋ∈Ｒ}。令V３={ｔ１η１＋ｔ２η２｜ｔ１，ｔ２∈Ｒ，η１∈Ｖ１，η２∈Ｖ２}。（1）求子空间Ｖ３的维数；（3分）（2）求子空间Ｖ３的一组标准正交基。（4分）10．据统计，在参加某类职业资格考试的考生中，有60%是本专业考生，有40%是非本专业考生，其中本专业考生的通过率是85%，非本专业的考生通过率是50%。某位考生通过了考试，求该考生是本专业考生的概率。11．在平面有界区域内，由连续曲线C围成一个封闭图形。证明：存在实数ζ使直线y=x+平分该图形的面积。12．给出“平行四边形”和“实数”的定义，并说明他们的定义方式。13．简述向量的数量积运算与实数的乘法运算的区别。三、解答题（本大题1小题，10分）14．过点P（1，3）作椭圆24+22=的切线，分别交x轴和y轴于点A和点B，将线段AB绕x轴旋转一周，所成旋转曲面记作S。（1）在空间直角坐标系下，写出曲面S的方程；（6分）（2）求曲面S与平面x=0所围成立体的体积。（4分）四、论述题15．数学的产生与发展过程蕴含着丰富的数学文化。（1）以“导数及其应用”教学为例，说明在数学教学中如何渗透数学文化；（6分）（2）阐述数学文化对学生数学学习的作用。（9分）五、案例分析题16．案例：下列是两位教师“复数概念”引入的教学片段：【教师甲】为了解决2−2=0在有理数集中无解，以及单位正方形对角线的度量等问题，在初中，把有理数集扩充到了实数集。2+=0在实数集中有解吗？类比初中的做法，我们如何做呢？看来，又需要扩充数系。数学家引入了i，使i是方程2+=0的一个根，即使i2=−，把这个新数i添加到实数集中去，就会得到一个新数集，记作A，那么方程2+=0在A中就有解x=i了。这样我们就引入了一个新数。【教师乙】16世纪，意大利数学家卡尔达诺在解决“求两个数，使其和为10，积为40”时，认为这两个数是“5+−5”和“5−−5”这是因为：（5+−5）+（5−−5）=10，（5+−5）x（5−−5）=40。看来−5也是一个存在的数，从而−是一个存在的数。数学家将−记为i，从而−5=5i这样我们就引入了一个新数。……这节课我们学习了复数的表达形式a+bi（a，b∈）。当然，复数还有其他表示法，在后续的学习中我们会学习到。问题：（1）请分析这两位教师教学引入片段的特点；（12分）（2）复数还有三角表示法，请简述三角表示法的意义。（8分）六、教学设计题（本大题1小题，30分）17．某位教师设计了高中数学必修内容“分层抽样”的教学目标为：①通过实例，了解分层抽样的特点、适用范围及分层抽样的必要性，掌握分层抽样的操作步骤；②体会分层抽样、简单随机抽样以及系统抽样的区别与联系，提升整体把握知识的能力。基于上述内容，完成下列任务：（1）基于教学目标①，设计一个实例，总结分层抽样的步骤，并说明设计意图；（21分）（2）基于教学目标②，简要说明简单随机抽样、系统抽样以及分层抽样各自特点及适用范围。（9分）