初二第二讲---三线合一

“三线合一”专题等腰三角形有一个重要的性质：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。这就是著名的等腰三角形“三线台一”性质。例1．如图所示，在等腰△ABC中，AD是BC边上的中线，点E在AD上。求证：BE=CE。变式练习1-1如图，在△ABC中，AB=AC，D是形外一点，且BD=CD。求证：AD垂直平分BC。变式练习1-2已知，如图所示，AD是△ABC，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高。求证：AD垂直平分EF。例2．如图△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，若CD＝4，且△BDC周长为24，求AE的长度。【巩固练习】1、等腰三角形一边等于5，另一边等于8，则周长是________。2、在△ABC中，已知AB＝AC，AD是中线，∠B＝70°，BC＝15cm，则∠BAC＝________，∠DAC＝________，BD＝________cm。ABBCED3、在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，AB＝3，AC＝4，则AD＝________。4、已知△ABC中，∠A＝n°，角平分线BE、CF相交于O，则∠BOC的度数应为（）（A）90°－n21°（B）90°＋n21°（C）180°－n°（B）180°－n21°5、下列两个三角形中，一定全等的是（）（A）有一个角是40°，腰相等的两个等腰三角形（B）两个等边三角形（C）有一个角是100°，底相等的两个等腰三角形（D）有一条边相等，有一个内角相等的两个等腰三角形6、已知：如图，△ABC中，AB=AC。小强想做∠BAC的平分线，但他没有量角器，只有刻度尺，他如何做出∠BAC的平分线？7、已知：如图，B、D、E、C在同一直线上，AB=AC，AD=AE。求证：BD=CE。8、如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是AB上一点，且BD=BC。DE⊥AB交AC于E。求证：CD⊥BE。9、如图，锐角△ABC中，∠B=2∠C，AD为BC边上的高，求证：DC=AB+BD。10、如图2，BM，CN分别是△ABC的外角∠BAD、∠ACE的平分线。AM⊥BM，M、N为垂足。求证：MN∥CN。ACBDE“三线合一”专题答案【例题讲解】例1、证明：∵在等腰△ABC中，AD是BC边上的中线∴AB=ACAD是∠BAC的平分线，即∠BAD=∠CAD又∵AE=AE∴△ABE≌△ACE（SAS）∴BE=CE变式练习1-1证明：由于AB=AC，BD=CD，AD=AD，所以△ABD≌△ACD（SSS）。故∠BAD=∠CAD。AD平分∠BAC。在等腰△ABC中，由“三线合一”知AD⊥BC，且AD平分BC。变式练习1-2分析：从本题的条件和图形特征看，欲证AD垂直平分EF，因为有∠1=∠2，所以只要证明△AEF为等腰三角形即可证明：∵DE⊥AB,DF⊥AC、∠1=∠2，AD=AD∴Rt△AED≌Rt△AFD∴AE=AF又∠1=∠2∴AD垂直平分EF例2．解：∵AB＝AC，∠A＝36°∴△ABC为等腰三角形，∠ABC=∠C=72°又∵BD平分∠ABC∴∠ABD=∠DBC=36°∴△ABD为等腰三角形，即AD=BD∠BDC=∠C=72°∴△DBC为等腰三角形，即BD=BC∵CD=4，△BDC周长为24，∴BD=BC=10∴AC=AD+CD=14∵DE⊥AB，△ABD为等腰三角形∴DE为AB中线∴AE=21AB=7【巩固练习】1、18或212、40°，20°，7.53、5124、A5、C6、解：取BC的中点D，连接AD，则AD平分∠BAC。在△ABC中，∵AB=AC，AD是底边上的中线∴AD是∠BAC的平分线（三线合一）7、证明：取BC中点F，连接AF∵AB=AC∴AF⊥BC(三线合一)∵AD=AE,∴DF=EF(三线合一)∴BF-DF=CF-EF（等量减等量，差相等）∴BD=CE8、证明：在Rt△BCE和Rt△BDE中，BE=BE，BC=BD。∴Rt△BCE≌Rt△BDE（HL）∴∠CBE=∠DBE又∵BD=BC，∴CD⊥BE（三线合一）。评注：要证明CD⊥BE，考虑到CD是等腰△BDE的底边，联想到“三线合一”，只要证明BE是∠CBD的平分线，问题便能得到解决。9、证明：在DC边上取点G，使DG=DB，连接AG。如图。∵AD⊥BG，DB=DG∴AB=AG（三线合一）∴∠B=∠1又∵∠1=∠2+∠C，∠B=2∠C∴∠2=∠C∴CG=AG∴CG=AB∵DC=DG+CG∴DC=AB+DB评注：利用“三线合一”证明两直线垂直，应具备两个条件：（1）三角形是等腰三角形；（2）两线中一条是这个三角形顶角的平分线或底边上的中线。若不具备上述两个条件，要设法加以补充。10、证明：这里有角平分线BM、CN，也有垂直于BM、CN的直线，若延长AM、AN，交CB、BC的延长线于D、E，如图。由“角平分线和高重合”可知构成了等腰△ABD和等腰△ACE，且M、N分别为这两个等腰三角形底边的中点。这样，MN是△ADE的中位线，故有MN//BC。