矩阵及其初等变换

理学院数学科学系1第二章矩阵及其初等变换矩阵将一组有序的数据视为“整体量”进行表述和运算，使得问题变得简洁和易于了解本质，矩阵是解线性方程组的有力工具，是线性代数中的主要研究对象，矩阵理论是线性代数的基本内容.本章重点：矩阵的运算及其运算性质逆矩阵及其运算性质、存在条件、求法矩阵的分块运算法矩阵的初等变换及初等矩阵矩阵的秩及其性质理学院数学科学系2§2.1矩阵的概念二、矩阵的定义与记号一、关于矩阵三、特殊矩阵四、矩阵举例理学院数学科学系3一、关于矩阵1850年由西尔维斯特（Sylvester）首先提出矩阵的概念.1858年卡莱（A.Cayley）建立了矩阵运算规则.矩阵的应用十分广泛：自然科学、工程技术、社会科学等许多领域.如在观测、导航、机器人的位移、化学分子结构的稳定性分析、密码通讯、模糊识别，以及计算机层析X射线照相术等方面，都有广泛的应用.理学院数学科学系4二、矩阵的定义与记号Def2.1由个数排成的m行n列的数表nm),,2,1;,2,1(njmiaijmnmmnnaaaaaaaaa212222111211称为行列矩阵，简称矩阵.mnnm为表示这个数表是一个整体，总是加一个括弧，并用大写黑体字母表示它，记作理学院数学科学系5mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211这个数称为矩阵A的元素，简称为元，数位于矩阵的第i行第j列，称为矩阵的(i,j)元.以数为(i,j)元的矩阵可简记作或.矩阵A也记作mnijaija)(ijanmija)(nm.nmA矩阵的记号是在数表外加上括弧，与行列式的记号(在数表外加上双竖线)是不同的，这是两个不同的概念.矩阵的行数和列数不一定相等.元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵.理学院数学科学系6同型矩阵:两个矩阵的行数相等、列数也相等时，就称它们是同型矩阵.矩阵相等：如果与是同型矩阵，并且它们的对应元素相等，即)(ijaA)(ijbB),,2,1;,,2,1(njmibaijij那么就称矩阵A与矩阵B相等，记作.BA理学院数学科学系7三、特殊矩阵行矩阵(行向量)：列矩阵(列向量)：只有一行的矩阵，记作),,,(21naaaA矩阵n1只有一列的矩阵，记作mbbbB21矩阵1m方阵：行数与列数都等于n的矩阵称为n阶矩阵或n阶方阵.n阶矩阵A也记作.nA理学院数学科学系8零矩阵：对角矩阵(对角阵)：单位矩阵(单位阵)：上三角矩阵：下三角矩阵：数量矩阵(纯量矩阵)：元素都是零的矩阵，记作0.000000000O不同型的零矩阵是不同的，例如,00000032O,00000000033O.3332OO不在对角线上的元素都是0.这种方阵称为对角矩阵，简称对角阵，用表示，即n00000021),,,(21ndiag从左上角到右下角的直线(叫做(主)对角线)上的元素都是1，其它元素都是0，这种矩阵称为单位矩阵，简称单位阵，用E表示，即，100010001)(ijE在n阶方阵中，若主对角线左下方所有元素全为零，这样的方阵称为上三角形矩阵，简称为上三角阵.nnnnrrrrrrR00022211211在n阶方阵中，若主对角线左上方所有元素全为零，这样的方阵称为下三角形矩阵，简称为下三角阵.nnnnllllllL21222111000不在对角线上的元素都0，主对角线上的元素相同，这种矩阵称为数量矩阵，又称纯量矩阵，用kE表示，即kkkkE000000理学院数学科学系9四、矩阵举例例1.1某厂向三个商店发送四种产品的数量可列成矩阵343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaA其中为工厂向第i店发送第j种产品的数量.ija这四种产品的单价及单件重量也可列成矩阵4241323122211211bbbbbbbbB其中为第种产品的单价，为第种产品单件重量.1ib2ibii从两个矩阵可以清楚看出这个厂的产品的信息.理学院数学科学系10例1.2四个城市间的单向航线如下图所示，若令1234.,01,1市没有单向航线市到从条单向航线，市有市到从jijiaij则这个图可以用矩阵表示为0101001000011110)(ijaA用矩阵表示这个图后，就可以用计算机对这个图进行分析和计算.理学院数学科学系11例1.3n个变量与m个变量之间的关系式nxxx,,,21myyy,,,21,,,22112222121212121111nmnmmmnnnnxaxaxayxaxaxayxaxaxay)1(称为从变量到变量的线性变换.nxxx,,,21myyy,,,21线性变换(1)的系数构成矩阵称为线性ija;)(nmijaA变换的系数矩阵，线性变换与矩阵是一一对应的.理学院数学科学系12§2.2矩阵的基本运算一、矩阵的加法二、数与矩阵的乘法三、矩阵的乘法四、矩阵的转置五、方阵的行列式六、矩阵的共轭理学院数学科学系13一、矩阵的加法Def2.2两个同为的矩阵相加后得一矩阵，其元素为两矩阵对应元素的和.即nmnm,)(nmijaA,)(nmijbB.)(nmijijbaBA只有两个矩阵是同型矩阵时，这两个矩阵才能进行加法.理学院数学科学系14102526151522,102030121720BABA423227204556理学院数学科学系15矩阵的加法运算规则交换律：ABBA结合律：)()(CBACBA设矩阵记),(ijaA)(ijaAA称为矩阵的负矩阵.A)(BABAAOAAOOAAAA)(理学院数学科学系16二、数与矩阵的乘法（矩阵的数乘）nmijaA)(nmijkakA)(mnmmnnkakakakakakakakaka212222111211Def2.3阶矩阵A与一个数k相乘后得一矩阵，其元素为原矩阵对应元素乘以这个数.记作nmnm.AkkA或AaAij)()1(矩阵A的负矩阵；)(ijkkE纯量矩阵.理学院数学科学系17AB4102030121720A48068484080120理学院数学科学系18数与矩阵的乘法运算规则)()(AAAAA)(BABA)(AA1OA0矩阵的加法、数与矩阵的乘法合起来，统称为矩阵的线性运算.理学院数学科学系19三、矩阵的乘法某家电公司向三个商店发送四种产品的数量如下表：空调冰箱29``彩电25``彩电甲商店30205020乙商店07100丙商店50405050505040500107020502030A理学院数学科学系20这四种产品的售价(单位：百元)及重量(单位：千克)如下:售价重量空调3040冰箱163029``彩电223025``彩电18202018302230164030B问：该公司向每个商店出售产品的总售价及总重量分别是多少？理学院数学科学系21C甲商店乙商店丙商店售价重量182022501620303026802020305030204030370033251041405700AB505040500107020502030A2018302230164030B理学院数学科学系22ljiljijiijbababac2211.1lkkjikba),,2,1;,,2,1(njmilmikaA)(,)(nlkjbBnmDef2.4设，若定义一个新的矩阵其中,)(nmijcC.ABC则称矩阵C为矩阵A与矩阵B之积，记作只有当左矩阵的列数等于右矩阵的行数时，矩阵的乘积才有意义.乘积矩阵的第i行第j列元素等于左矩阵的第i行元素与右矩阵的第j列对应元素乘积之和.两个矩阵的乘积仍然是一个矩阵，且乘积矩阵的行数等于左矩阵的行数，乘积矩阵的列数等于右矩阵的列数.理学院数学科学系23特别注意-乘积不可交换AB乘积一般不可以交换，(1)AB为矩阵，但BA无意义；,,3112BA32,BAAB若则称矩阵乘积可交换.BA、,,2332BA(2)AB和BA均有意义，但AB为2阶矩阵，BA为3阶矩阵..010111010201010111010101(3)由于矩阵不可交换，所以矩阵乘法分为左乘和右乘.理学院数学科学系24解:AB3220121301431102311014例2.1求矩阵(教材P36例2)的乘积AB.20121301A431102311014B与A是矩阵，B是矩阵，A的列数等于B的行数，所以矩阵A与B可以相乘.乘积矩阵是矩阵.4234323293292329219911理学院数学科学系25解:AB214263421632816BA634221420000与的乘积AB及BA.2142A6342B例2.2求矩阵(教材P37例3)此例不仅表明矩阵的乘法不满足交换律，而且还表明矩阵的乘法不满足消去律，即1）若,0AB,0A且不能推出;0B2）若,0)(YXA,0A且不能推出.YX理学院数学科学系26例2.3计算矩阵411031002321021001BA与的乘积AB.解：411031002321021001AB1297064002上三角矩阵与上三角矩阵的乘积仍为上三角矩阵，下三角矩阵与下三角矩阵的乘积仍为下三角矩阵.理学院数学科学系27矩阵的乘法-运算规则)()(BCACABCABAACB)(为数),()()(BABAAB,)(ACABCBA,,nmAEAAEAnm矩阵对任意.AEAEA或简写成纯量矩阵与方阵的乘积)()()()(kEAEAkkAEAkAkEnnnnn第五条规则表明，纯量矩阵与方阵都是可交换的．理学院数学科学系28方阵的幂定义设A是n阶方阵，定义AA1112AAA11AAAkk此定义表明，就是k个A连乘，并且显然，只有方阵，它的幂才有意义.kA运算规则为正整数其中klklkAAAkllkAA)(特别注意kAB)(kkBA一般来说，与不相等.理学院数学科学系29称为方阵的次多项式.)(AAm设mmaaaa2210)(为数的次多项式，记m同一个方阵的两个矩阵多项式是可交换的:设是A的两个多项式，则)()(AgAf、