利用基本不等式求最值的常见方法

利用基本不等式求最值的常见方法授课教师：郑娟一.知识梳理1.()2abababR基本不等式：，ab当且仅当时，等号成立.2.基本不等式的变形：12(),ababababR（），当且仅当时取等号.22(2)2(),ababRabab，当且仅当时取等号.(3)2(,abababba同号)，当且仅当时取等号.3.满足求最值的三个条件：一正二定三相等.101,()(43)512,()42445xfxxxxfxxx例1（）已知求的最大值；（）已知求的最大值.类型一：配凑定值法101,4-30,xx解：（）因为所以1()3(43)3fxxx2343.3xxx当且仅当即时，等号成立42().33fxx所以的最大值是，此时213343()2xx43.101,()(43)512,()42445xfxxxxfxxx例1（）已知求的最大值；（）已知求的最大值.类型一：配凑定值法5,450,4xx解：（2）因为所以1()(54)354fxxx11.54xxx当且仅当5-4即时，等号成立()11.fxx所以的最大值是，此时12(54)354xx=1类型二：常数代换法112.10,0,1,20,0,35,34xyxyxyxyxyxyxy例（）已知求的最小值；（）已知求的最小值.11111()()xyxyxy解：（）2.21xyyxxyxy当且仅当即时，等号成立2xyyx22xyyx4类型二：常数代换法112.10,0,1,20,0,35,34xyxyxyxyxyxyxy例（）已知求的最小值；（）已知求的最小值.0,0,xy解：（2）因为31211,.235xyyxxyxyxy当且仅当即时，等号成立13134(34)()5xyxyxy135,yx所以312=13xyyx312132xyyx=25类型三：函数单调性法22.3,().1xfxxx例3已知求的最小值22(1)3()1(1)xfxxx解：3113.1xxx当且仅当即时，等号成立3()(1)21fxxx正解：1(2)txt记，3=22+ytt原式在[，）上单调递增，3112222y所以，23.tx当且仅当即时等号成立3(1)21xx23+2类型四：和积转化法.10,0,8,;20,0,8,xyxyxyxyxyxyxyxy例4（）已知求的最小值（）已知求的最大值.0,0,xy解：（1）因为828*xyxyxy所以（）(0)txyt记2*280,tt则（)式可化为：tt可解得：4或-2(舍），min16,()xy即4.xy当且仅当时，等号成立类型四：和积转化法.10,0,8,;20,0,8,xyxyxyxyxyxyxyxy例4（）已知求的最小值（）已知求的最大值.0,0,xy解：（2）因为28*()2xyxyxy所以（）(0)txyt记2*4320,tt则（)式可化为：8tt可解得：或-4(舍），max8,(+)xy即4.xy当且仅当时，等号成立谢谢观赏！