《平面向量的数量积》教学设计

课题：《平面向量的数量积》第一课时科目：数学教学对象：高一课时：1课时提供者：单位：一、教学内容分析平面向量的数量积是在研究完向量的线性运算之后的又一重要运算，它把向量的长度和三角函数联系起来，为解决有关的几何问题提供方便，特别是为解决线段垂直问题提供了有效的方法，不仅自身内容丰富，而且在数学、物理等学科中应用十分广泛，起承上启下的作用.二、教学目标1.知识与技能•了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义；•体会平面向量的数量积与向量投影的关系,•会运用数量积概念求两个向量的数量积；•掌握平面向量数量积的重要性质和运算律，并能运用这些性质与运算律解决有关问题；2.过程与方法•让学生经历由实例抽象出数学定义的形成过程，由性质、运算律的发现到争论过程；进一步感悟数学的本质，培养学生自主探究的能力；渗透数形结合的思想，体会类比的数学思想和特殊到一般的方法.3.情感态度与价值观•在探究过程中让学生体验获取知识的成功感受，激发学生善于发现、勇于探索的精神；树立理论来源于实践又反作用于实践的辨证唯物主义的观点.三、学习者特征分析通过平时教学的反馈知道学生已具备了功等物理知识，熟知实数的运算体系，对向量的概念和线性运算都比较熟练，并且通过前面知识的学习初步体会了研究向量运算的一般方法。因此学生已经做好了学习本节的准备.四、教学策略选择与设计课题设计的基本理念：本节课是一节“问题意识引领课”，主要是将课堂教学内容转化成问题或问题串，通过创设特定的问题情景，引导学生在解决面临的问题中，主动获取新的知识，培养运用知识解决实际问题的方法和能力.主要采用的教学与活动策略是“问题驱动，学案导学”，即编写导学案时精心设计问题，力求问题串之间有层次性、价值性、目的性，在关键处提问，把学习的主动性交还给学生，让学生去探索，去发现、创造和猜想，从而形成对知识的认知与理解。五、教学重点及难点重点：平面向量数量积的概念；性质、运算律的发现与论证.难点：平面向量数量积的概念，向量投影及运算律的理解.关键：夹角概念的正确理解六、教学过程教师活动学生活动设计意图一．概念引入问题1：向量的模和夹角分别是什么概念？当两个向量的夹角分别为0°，90°，180°时，这两个向量的位置关系如何？问题2：我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？问题3：那向量与向量能否“相乘”？如图所示，一物体在力F的作用下产生位移S，（1）力F所做的功W=。（2）分析这个公式有几个量，各量的特点：F（力）是量，S（位移）是量，α是，W（功）是量，。是与的夹角功是一个标量，它由力和位移两个量唯一确定，这给我们一种启示。。。从数学上看，它就是矢量“力”和矢量“位移”进行某种运算的结果，让学生充分参与从“功”抽象出向量“乘法”的活动。分析“功”的计算公式使学生了解数量积的数学背景，让学生明白本节课所要研究的数量积与向量的线性运算一样，都是向量的运算，但数量积运算又有其特殊性，那就是其结果发生了本质的变化从学生熟知的知识引入，调动学生学习的积极性，同时使学生了解数量积的物理背景，为抽象数量积的概念做好铺垫。二．概念获得问题4：你能用文字语言来表述功的计算公式吗?如果我们将公式中的力与位移推广到一般向量，其结果又该如何表述？定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量叫做与的数量积（或内积），记作：，即：，其中是与的夹角.规定：零向量与任一向量的数量积为0.问题5：向量的数量积运算与线性运注：只是一个符号，表示两个向量的数量积，书写时要严格区分符号“.”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“”代替。说明规定的意义数量符号由的符号决定。投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当=时投影为；当=时投影为。由丰富的物理背景，自然地抽象出数学运算，正确形成平面向量数量积的定义。让学生从“数”的角度认识数量积的概念，不仅使学生认识到数量积的结果与线性运算的结果有着本质的不同，而且认识到向量的夹角是决定数量积结果的重要因素，为下面更好地理解数量积的性质和算的结果有什么不同？（两个向量的内积是数量还是向量？）问题6：两个非零数量积计算结果的符号由公式中的那个量决定？并完成下表：（学生小组讨论）问题7：反过来，由向量积的正负能得到夹角的范围吗？投影：定义：叫做向量在方向上的投影。问题8：你能在图中做出在上的投影吗？问题9：由投影的定义，你能说出数量积的几何意义吗？数量积等于的长度与在方向上的投影的乘积。运算律做好铺垫。不仅让学生从“形”的角度重新认识数量积的概念，从中体会数量积与向量投影的关系，符合知识的连贯性。三.简单应用例1.已知与的夹角求变式：已知中，,,,求.学生自主完成例题，教师规范格式巩固数量积的定义四.算律探究1．数量积的性质问题：(1)设与都是非零向量，若，，则等于多少？反之成立吗？（2）当与同向时，等于多少？当与反向时，等于多少？（3）当与相等时，等于多少？（4）与的大小关系如何？问题：你能给出性质的证明吗？设和都是非零向量，则引导学生利用数量积的定义证明学生交流引导，结合图形，考虑用数量积的几何意义证明，可把向量换成单位向量。不成立。因为表示一个与共线的向量，而表示一个与共线的向量，而与一般不共线，所以式子不成立。平面几何主要研究图形的数量关系和位置关系，数量关系主要涉及角度和线段长度，位置关系主要涉及两直线平行和垂直，这些都与平面向量的数量积有关。对性质的总结，让学生体会数量积定义的必要性和重要性；激发学生参与学习活动的热情，不仅使学生获得了知识，更培养了学生由特殊到一般的思维品质。培养学生应用数学定义探究问题、解决问题的能2.判断下列各题是否正确（1）若，则对任意向量，有（2）若，则对任意非零向量，有（3）若，且则（4）若则或（5）对任意向量有（6）若，且则3．数量积的运算律问题1数量乘法满足交换律，向量的数量积是否满足交换律？交换律：问题2.数量乘法满足分配律，向量的数量积是否也满足分配律？追问：怎样证明式子的正确性？问题3：对任意实数，有有意义吗？可转化为那些运算？问题4：对于不共线向量，判断是否成立？力。让学生在类比的基础上进行猜想归纳，得出数量积的运算律，然后教师明晰结论，最后再完成证明，这样做不仅培养了学生推理论证的能力，同时也增强了学生类比创新的意识，将知识的获得和能力的培养有机的结合在一起。五.应用提高例2.求证：例3.已知.已知与的夹角求。例4.已知.已知且与不共线，为何值时，向量与互相垂直？用性质和运算律证明学生独立完成巩固所学六.课堂练习1.若且与反向，则2.已知向量满足且则与的夹角为————。利用向量垂直的充要条件求解学生独立完成学生板演学生小组合作巩固平面向量的性质及运算律，强化实践环节，培养学生的数学思维能力巩固平面向量的概念、性质及运算3.已知在方向上的投影为，则4.已知向量与，满足求的取值范围。变式：在中，且则是（）。A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形5.已知且求.律，强化实践，培养学生的数学应用能力七.归纳小结问题：（1）向量的数量积是如何定义的，它有哪些性质？（2）我们学习了向量数量积的哪些运算律？你应用了哪些数学思想方法？（1）知识上，理解了对数函数的性质及其应用（2）数学思想方法上，学习了运用数形结合法、观察法、分类讨论法、类比法，有特殊到一般法解决数学问题。培养归纳反思习惯、帮助学生形成知识体系。八.分层作业必做题：教科书108页习题2.4A组1.2.4.6.7.8.选做题：教科书习题2.4B组1.思考题：1.设中，，，且。判断的形状。2.证明学生按要求选择完成作业这是在课后对课堂所学知识的掌握程度的一种反馈，以达到温故知新或弥补不足，同时兼顾到学生的个体差异性七、教学评价设计1.自我评价和小组评价相结合。主要通过课上的及时训练和课堂练习予以反馈。2.教师评价。根据学生的课堂表现和作业完成情况给与评语评价。3.一周一测。给与成绩评价。八、板书设计平面向量数量积的物理背景及其含义二.数量积的性质三.数量积的运算律四.应用与提高五.归纳小结一.数量积的概念1.概念：2.概念强调（1）记法（2）“规定”几何意义：九．教学反思美国学者波斯纳提出“没有反思的经验是狭隘的经验。如果教师满足于获得经验而不对经验进行深入的思考，那么他的教学水平的发展将大受限制，甚至滑坡。”对于《平面向量的数量积的物理背景及其含义》这节课的教学，我主要从教学设计和教学过程两个方面进行深刻的反思。一.反思教学设计1.对学生已有内容的反思由于“影响学习最重要的因素是学生已有的内容”，弄清这一点后，进行相应的教学。上完课后再来反思学生已有的内容，如下：首先是学生对两个向量的夹角概念掌握的不好，定义不熟悉，不会找到正确的夹角，而这个知识是应用平面向量数量积的定义正确解题的关键。我在备课时考虑到了这一点，所以课上先复习了夹角的定义，并通过一组练习让学生学会如何去找两个向量的夹角，教学设计考虑到了学生已有的认知水平，衔接处把握的还可以。2.对教学内容组织及教学设计环节的反思本节课在教学设计上对教学内容进行了重组，整体上把握了教材。教材上是先通过一个物理背景引出两个向量数量积的定义，紧接着介绍了投影的定义，然后探究了数量积运算的性质，在例1后介绍了数量积的几何意义，目的是为证明后面的分配律做铺垫，接着得出数量积的运算律并证明，最后是知识的应用。我觉得有了投影的定义，数量积的几何意义就呼之欲出了，所以我在内容组织上做了一个调整，先讲数量积的定义、投影的定义和数量积的几何意义，再讲性质与运算律，整体主线按照“概念引入——概念获得——算律探究——应用提高——归纳总结”的程式展开，使知识呈现一种序列关系，同时也体现了类比的研究方法。另外，考虑到学生的基础差异，在每个知识模块后面都增加了及时训练题，有助于学生明白知识在那些方面有应用，如何应用，从而加深对知识的掌握程度。二.反思教学过程1.对合作关系的反思这里面包含生生合作和师生合作，考虑到教学任务与教学实践的矛盾，我只在类比实数乘法的运算律探究向量数量积的运算律的时候安排了一个小组合作，但课堂表现感觉学生讨论还是不够激烈，没有充分展示他们的创新潜能；由于我是借班上课，对学生的状态不了解，所以教学基本上是按着自己的准备进行的，通过问题串引导学生探究发现学习新知。总体上内容进行的比较顺利，但有两点我觉得还须改进：（1）教学中老师需要机智，而不是严格按照准备好的教案进行：（2）知识、方法和数学思想的归纳总结是教师引导完成还是让学生自己提炼值得精心设计。2.对课堂提问的反思由于本节课是一节“问题意识引领课”，主要是将课堂教学内容转化成问题或问题串，通过创设特定的问题情景，引导学生在解决面临的问题中，主动获取新的知识，培养运用知识解决实际问题的方法和能力，所以课堂提问比较多。每个问题都是经过精心设计的，问题串之间显示了问题的层次性、价值性、目的性、趣味性，基本上做到了在关键处提问，起到了引领作用，把学习的主动性交还给学生，让学生去探索，去发现、创造和猜想，从而形成对知识的认知与理解。3.对时间结构的反思基本上按课时完成教学任务，但由于学生基础掌握的不够牢固，《学案》学生拿到的较晚，课前没有按照学案安排复习旧知预习新知，所以课堂上需要更多的时间去展示其思维过程，导致最后的综合应用没有讲完，强化巩固做的不到位，这是我的一个遗憾。第二个遗憾就是考虑到时间限制，对于分配律的证明没有在课堂上呈现，没有给学生充分暴露自己思想的时间和空间。毋庸置疑，在新课程理念的指导下，“问题意识引领课”也就是“问题导学”的授课方式是一种较好的教学方式，是以学生主动参与为前提，自主学习、合作讨论为形式，培养创新精神和实践能力为重点，构建教师的“导”和学生的“学”的教学程序，它重视开发学生智力，发展学生的创造性思维，培养自学能力、引导学生学会学习，为终身学习和工作奠定基础。同时转变了教师的教育观念，促进了教师的专业发展，提升了教师实施新课程的能力，实现了学生发展、教师发展、学校