如何巧解圆柱体表面积的变化问题

一、圆柱体的拼截引起表面积的减少或增加。在圆柱的认识教学中，每个学生都做了相同的小圆柱体，在教学中，我让学生用自己做的几个小圆柱体，分小组动手拼，并在小组内交流发现的问题。通过同学们的自主探索，然后分小组进行汇报，学生发现表面积变化的情况是：几个小圆柱拼在一起减少了面，并且减少的面就是圆柱的底面，每两个拼在一起，减少2个面（如图1），每3个拼在一起减少4个面（如图2）……即2个拼在一起，拼一次减少2个面，每3个拼在一起拼2次减少2×2个面，每4个拼在起拼3图1图2次减少2×3个面……规律：设n个相同的小圆柱体拼成较大的圆柱体，较大的圆柱体表面积比小圆柱体的表面积和减少的面积是：圆柱的底面积×［（n－1）×2］。如：把5个底面半径10厘米，高20厘米的小圆柱体拼成较大的圆柱体，表面积减少多少平方厘米？分析：5个拼在一起，拼（5－1）次，减少（5－1）×2个面，即减少的面积是：Π×102×［（5－1）×2］。同理，如果把较大的圆柱体截成n个较小的圆柱体，n个小圆柱体的表面积和比原圆柱体的表面积多的面积是：圆柱的底面积×［（n－1）×2］。二、圆柱体转化成长方体引起表面积的变化。我们在教学圆柱体的体积计算时，通过把圆柱体平均分成许多相等的扇形，再把扇形拼在一起，我们发现拼成的图形接近长方体，当然分的份数越多，就越接近长方体（如图），通过拼图形同学们发现：（1）长方体的长相当于圆柱底面周长的一半，宽相当于圆柱的底面半径。（2）圆柱的体积等于长方体的体积，从而推导出圆柱的体积计算公式。在实际教学中，许多老师容易忽略圆柱体与拼成的长方体的表面积进行比较。我在教学中，把拼成的图形长方体与原圆柱体进行比较，发现长方体的表面积比圆柱体多了长方体的左右两个长方形的面，这两个长方形的长相当于圆柱底面半径，宽相当于圆柱的高。从而得出：拼成的长方体表面积比圆柱体表面积多了2rh。如：把一个高10分米的圆柱体截成许多相等的扇形拼在一起接近一个长方体，表面积增加40平方分米，求圆柱体的表面积和体积？这题关键是求圆柱的底面半径，增加的40平方分米就是增加的2个长方形的面各和，每个长方形的长是圆柱的底面半径，宽10分米，所以半径＝40÷2÷10＝2分米，这样此题就转化为已知底面半径是2分米，高10分米，求圆柱体的表面积和体积，这样把复杂问题简单化，同学们很容易就解决了这类问题。三、圆柱体沿高截掉或增加一定的长度引起表面积的变化。在教学中我设计了一道（如图）的操作题：有一个高为8厘米的圆柱体,如果把高截短3厘米,表面积减少94.2平方厘米.这个圆柱体的体积是多少立方厘米?这道题主要引导学生分析把高截短3厘米后圆柱变化情况：（1）原来圆柱截掉一部份后，剩下的圆柱体看见三个面，而上面原来是没有的；（2）截掉的一部份是圆柱体，原来没截之前看见两个面，就是减少的面积。我们可以把剩下的圆柱体上的面面积（增加部份）和截掉部分上面的面积（减少的面积）相互抵消，则减少的面积是截掉部份的侧面的面积。这道题表面积减少94.2平方厘米，就是截掉部份圆柱体侧面的面积是94.2平方厘米，解法是：（1）半径＝94.2÷（2Π×3）＝30Π÷6Π＝5厘米；（2）V＝SH＝Π×52×8=200Π=628立方厘米。规律：圆柱体沿高截掉或增加一定的长度，减少或增加的面积就是截掉或增加部份圆柱体的侧面面积。四、圆柱体沿直径截开引起表面积的变化。例：把一个底面半径4厘米,高5厘米的圆柱体沿直径截开成为2个完全一样的半圆柱，两个半圆柱的表面积和比原圆柱体的表面积增加多少平方厘米？我在教学这道题时，首先用多媒体演示把一个圆柱沿直径截成两个半圆柱的变化，让学生通过形象的演示得到实际的图形，观察出增加的图形是两个长方形，继续观察长方形的长是圆柱的底面直径，高是圆柱的高，所以这道题增加的面积是：4×2×5×2＝80平方厘米。结论：圆柱体沿直径截开成为2个完全一样的半圆柱，增加的面积是两个长方形的面积，长方形的长是圆柱的底面直径，高是圆柱的高。