第三章--第二节--同角三角函数基本关系与诱导公式

同角三角函数基本关系与诱导公式1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，sinxcosx＝tanx.2．能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式，并能灵活运用．[理要点]一、同角三角函数的基本关系式1．平方关系：．sin2α＋cos2α＝1(α∈R)2．商数关系：．tanα＝sinαcosα(α≠kπ＋π2，k∈Z)二、六组诱导公式组数一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－απ2－απ2＋α组数一二三四五六正弦余弦正切sinα－sinα－sinαsinαcosαcosαcosα－cosαcosα－cosαsinα－sinαtanαtanα－tanα－tanα对于角“kπ2±α”(k∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，意思是说kπ2±α，k∈Z的三角函数值等于“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变，然后α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号．”[究疑点]有人说sin(kπ－α)＝sin(π－α)＝sinα(k∈Z)，你认为正确吗？提示：不正确．当k＝2n(n∈Z)时，sin(kπ－α)＝sin(2nπ－α)＝sin(－α)＝－sinα；当k＝2n＋1(n∈Z)时，sin(kπ－α)＝sin[(2n＋1)·π－α]＝sin(2nπ＋π－α)＝sin(π－α)＝sinα.[题组自测]1．α是第四象限的角，cosα＝1213，则sinα等于()A.513B．－513C.512D．－512答案：B答案：382．已知sinα－cosα＝12，则sinα·cosα＝________.3．若sinθ＝－45，tanθ0，则cosθ＝________.解析：∵sinθ＝－450，tanθ0，∴θ的终边在第三象限，∴cosθ＝－1－sin2θ＝－1－－452＝－35.答案：－354．已知α是三角形的内角，且sinα＋cosα＝15.(1)求tanα的值；(2)把1cos2α－sin2α用tanα表示出来，并求其值．解：(1)法一：联立方程sinα＋cosα＝15①sin2α＋cos2α＝1②由①得cosα＝15－sinα，将其代入②，整理得25sin2α－5sinα－12＝0.∵α是三角形内角，∴sinα＝45cosα＝－35，∴tanα＝－43.法二：∵sinα＋cosα＝15，∴(sinα＋cosα)2＝(15)2，即1＋2sinαcosα＝125，∴2sinαcosα＝－2425，∴(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1＋2425＝4925.∵sinαcosα＝－12250，且0απ，∴sinα0，cosα0，∴sinα－cosα0，∴sinα－cosα＝75，由sinα＋cosα＝15sinα－cosα＝75，得sinα＝45cosα＝－35，∴tanα＝－43.(2)1cos2α－sin2α＝sin2α＋cos2αcos2α－sin2α＝sin2α＋cos2αcos2αcos2α－sin2αcos2α＝tan2α＋11－tan2α.∵tanα＝－43，∴1cos2α－sin2α＝tan2α＋11－tan2α＝－432＋11－－432＝－257.已知sin(3π＋α)＝2sin(3π2＋α)，求下列各式的值：(1)sinα－4cosα5sinα＋2cosα；(2)sin2α＋sin2α.解：∵sin(3π＋α)＝2sin(3π2＋α)，∴－sinα＝－2cosα，∴sinα＝2cosα，即tanα＝2.法一：(直接代入)(1)原式＝2cosα－4cosα5×2cosα＋2cosα＝－16；(2)原式＝sin2α＋2sinαcosαsin2α＋cos2α＝sin2α＋sin2αsin2α＋14sin2α＝85.法二：(同除转化)(1)原式＝tanα－45tanα＋2＝2－45×2＋2＝－16；(2)原式＝sin2α＋2sinαcosα＝sin2α＋2sinαcosαsin2α＋cos2α＝tan2α＋2tanαtan2α＋1＝85.[归纳领悟]1．利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sinαcosα＝tanα可以实现角α的弦切互化．2.应用公式时注意方程思想的应用：对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二．3．应用sin2α＋cos2α＝1求sinα或cosα时，特别注意角α的三角函数值的符号，符号规律：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．4．注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.[题组自测]1．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|π2，则θ等于()A．－π6B．－π3C.π6D.π3答案：D2．已知tanθ＝2，则sinπ2＋θ－cosπ－θsinπ2－θ－sinπ－θ＝()A．2B．－2C．0D.23解析：sinπ2＋θ－cosπ－θsinπ2－θ－sinπ－θ＝cosθ＋cosθcosθ－sinθ＝2cosθcosθ－sinθ＝21－tanθ＝21－2＝－2.答案：B3．求值：sin(－1200°)·cos1290°＋cos(－1020°)·sin(－1050°)＋tan945°.解：原式＝－sin1200°·cos1290°＋cos1020°·(－sin1050°)＋tan945°＝－sin120°·cos210°＋cos300°·(－sin330°)＋tan225°＝(－sin60°)·(－cos30°)＋cos60°·sin30°＋tan45°＝32×32＋12×12＋1＝2.4．化简(1)cosπ＋θcosθ[cosπ－θ－1]＋cosθ－2πsinθ－3π2cosθ－π－sin3π2＋θ；(2)sinkπ－αcos[k－1π－α]sin[k＋1π＋α]coskπ＋α，k∈Z.解：(1)原式＝－cosθcosθ－cosθ－1＋cosθcosθ－cosθ＋cosθ＝11＋cosθ＋11－cosθ＝2sin2θ.(2)当k为偶数时，记k＝2n(n∈Z)，原式＝sin2nπ－αcos[2n－1π－α]sin[2n＋1π＋α]cos2nπ＋α＝sin－αcos－π－αsinπ＋αcosα＝－sinα－cosα－sinαcosα＝－1；当k为奇数时，记k＝2n＋1(n∈Z)，原式＝sin[2n＋1π－α]cos[2n＋1－1π－α]sin[2n＋1＋1π＋α]cos[2n＋1π＋α]＝sinπ－αcosαsinαcosπ＋α＝sinαcosαsinα－cosα＝－1.综上，原式＝－1.已知cos(π＋α)＝－12，且α是第四象限角，计算：(1)sin(2π－α)；(2)sin[α＋2n＋1π]＋sin[α－2n＋1π]sinα＋2nπ·cosα－2nπ(n∈Z)．解：∵cos(π＋α)＝－12，∴－cosα＝－12，cosα＝12.又∵α是第四象限角，∴sinα＝－1－cos2α＝－32.(1)sin(2π－α)＝sin[2π＋(－α)]＝sin(－α)＝－sinα＝32；(2)sin[α＋2n＋1π]＋sin[α－2n＋1π]sinα＋2nπ·cosα－2nπ＝sin2nπ＋π＋α＋sin－2nπ－π＋αsin2nπ＋α·cos－2nπ＋α＝sinπ＋α＋sin－π＋αsinα·cosα＝－sinα－sinπ－αsinα·cosα＝－2sinαsinαcosα＝－2cosα＝－4.[归纳领悟]利用诱导公式化简求值时的原则为：1．“负化正”，运用公式三将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数．2．“大化小”，利用公式一将大于360°的角的三角函数化为0°到360°的三角函数，利用公式二将大于180°的角的三角函数化为0°到180°的三角函数．3．“小化锐”，利用公式六将大于90°的角化为0°到90°的角的三角函数．4．“锐求值”，得到0°到90°的三角函数后，若是特殊角直接求得，若是非特殊角可由计算器求得．[题组自测]1．△ABC中，cosA＝13，则sin(B＋C)＝________.解析：∵△ABC中，A＋B＋C＝π，∴sin(B＋C)＝sin(π－A)＝sinA＝1－cos2A＝223.答案：2232．已知在△ABC中，sinA＋cosA＝15，(1)求sinA·cosA；(2)判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形．解：(1)∵sinA＋cosA＝15，∴两边平方得1＋2sinA·cosA＝125，∴sinA·cosA＝－1225.(2)由(1)知sinA·cosA＝－1225＜0，且0＜A＜π，可知cosA＜0，∴A为钝角，∴△ABC是钝角三角形．3．在△ABC中，若sin(2π－A)＝－2sin(π－B)，3cosA＝－2cos(π－B)，求△ABC的三个内角．解：由已知得sinA＝2sinB①3cosA＝2cosB②①2＋②2得2cos2A＝1，即cosA＝±22.(1)当cosA＝22时，cosB＝32，又A、B是三角形的内角，∴A＝π4，B＝π6，∴C＝π－(A＋B)＝712π.(2)当cosA＝－22时，cosB＝－32.又A、B是三角形的内角，∴A＝34π，B＝56π，不合题意．综上知，A＝π4，B＝π6，C＝712π.[归纳领悟]1．诱导公式在三角形中经常应用，常用的变形结论有：A＋B＝π－C；2A＋2B＋2C＝2π；A2＋B2＋C2＝π2.2．求角时，一般先求出该角的某一三角函数值，再确定该角的范围，最后求角．一、把脉考情从近两年的高考试题来看，同角三角函数基本关系及诱导公式是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度为中低档题；主要是诱导公式在三角式求值、化简的过程中与同角三角函数的关系式、和差角公式及倍角公式的综合应用，一般不单独命题，在考查基本运算的同时，注重考查等价转化的思想方法．预测2012年高考仍将以同角三角函数基本关系及π±α，π2±α为主要考点，重点考查运算能力与恒等变形能力．二、考题诊断1．(2010·全国卷Ⅱ)已知sinα＝23，则cos(π－2α)＝()A．－53B．－19C.19D.53解析：cos(π－2α)＝－cos2α＝－(1－2sin2α)＝2×(23)2－1＝－19.答案：B2．(2010·全国卷Ⅱ)记cos(－80°)＝k，那么tan100°＝()A.1－k2kB．－1－k2kC.k1－k2D．－k1－k2解析：法一：cos(－80°)＝cos80°＝k，sin80°＝1－k2，tan80°＝1－k2k，tan100°＝－tan80°＝－1－k2k，故选B.法二：由cos(－80°)＝k，得cos80°＝k0，∴0k1.又sin280°＋cos280°＝1，∴tan280°＋1＝1cos280°.∴tan280°＝1k2－1＝1－k2k2.∴tan80°＝1－k2k.∴tan100°＝－tan80°＝－1－k2k.答案：B3．(2010·全国卷Ⅱ)已知α是第二象限的角，tan(π＋2α)＝－43，则tanα＝________.解析：由题设得tan(π＋2α)＝tan2α＝－43，所以tan2α＝－43，由二倍角公式得tan2α＝2tanα1－tan2α＝－43，整理得2tan2α－3tanα－2＝0，解得tanα＝2，或tanα＝－12，又α是第二象限的角，所以tanα＝－12.答案：－12点击此图片进入“课时限时检测”