模块2-多元函数的偏导数

模块2多元函数的偏导数一、偏导数的定义及其计算方法定义设函数z=f(x,y)在点的某一邻域内有定义,当y固定在而x在处有增量x时,相应地函数有增量,如果存在,则称此极限为函数z=f(x,y)在点处对x的偏导数，记为),(00yx0y0x),(),(0000yxfyxxfxyxfyxxfx),(),(lim00000),(00yx,,0000yyxxyyxxxfxz,00yyxxxz.),(00yxfx或同理可定义函数z=f(x,y)在点处对y的偏导数，为),(00yx,),(),(lim00000yyxfyyxfy000000,,yyxxyyyxxyyxxzyfyz.),(00yxfy记为或如果函数z=f(x,y)在区域D内任一点(x,y)处对x的偏导数都存在,那么这个偏导数就是x,y的函数,它就称为函数z=f(x,y)对自变量x的偏导函数,记作xzxfxz,,.),(yxfx或同理可以定义函数z=f(x,y)对自变量y的偏导函数,yzyfyz,,.),(yxfy记作或偏导函数也简称为偏导数.偏导数的概念可以推广到二元以上的函数如在处),,(zyxfu),,(zyx,),,(),,(lim),,(0xzyxfzyxxfzyxfxx,),,(),,(lim),,(0yzyxfzyyxfzyxfyy.),,(),,(lim),,(0zzyxfzzyxfzyxfzz解;32yxxz.23yxyz21yxxz,8231221yxyz.72213例1求在点处的偏导数.223yxyxz)2,1(如何求偏导数呢?我们通过例题来说明.证,1yyxxz,lnxxyzyyzxxzyxln1xxxyxyxyylnln11yyxx.2z原结论成立.例2设求证.)1,0(xxxzy.2ln1zyzxxzyx证毕.)0,0(,)0,0(,||),(,yxffxyyxfz求设例如有关偏导数的几点说明：2.求分界点、不连续点处的偏导数要用定义；解xxfxx0|0|lim)0,0(00.)0,0(yf1.偏导数是一个整体记号，不能拆分；xu3.偏导数存在与连续的关系但函数在该点处并不连续.偏导数存在连续.一元函数中在某点可导连续，多元函数中在某点偏导数存在连续，例如，函数.0,0,0,),(222222yxyxyxxyyxf依定义知在处，)0,0(,0)0,0()0,0(yxff4.偏导数的几何意义,),()),(,,(00000上一点为曲面设yxfzyxfyxM偏导数就是曲面被平面所截得的曲线在点处的切线对x轴的斜率.),(00yxfx0yy0MxTM0偏导数就是曲面被平面所截得的曲线在点处的切线对y轴的斜率.),(00yxfy0xx0MyTM0见下图,),(22yxfxzxzxxx,),(22yxfyzyzyyy,),(2yxfyxzxzyxy.),(2yxfxyzyzxyx纯偏导数混合偏导数二、高阶偏导数函数z=f(x,y)的二阶偏导数为定义:二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.解,33322yyyxxz;9223xxyyxyz,6222xyxz;182322xyxyz,6233yxz.196222yyxxyz,196222yyxyxz例3设求,13323xyxyyxzyxzxyzyzxz222222,,,.33xz及,cosbyaexuax;sinbybeyuax,cos222byeaxuax,cos222byebyuax,sin2byabeyxuax.sin2byabexyuax例4设,求二阶偏导数.byeuaxcos解问题：混合偏导数都相等吗？.),(,)0,0(),(,0,)0,0(),(,),(223的二阶混合偏导数求设5例yxfyxyxyxyxyxf解,)0,0(),(时当yx2223222)(2)(3),(yxyxxyxyxyxfx,)(232224222yxyxyxyx,)(2),(22223223yxyxyxxyxfy,)0,0(),(时当yx按定义可知：xfxffxx)0,0()0,(lim)0,0(0,00lim0xxyfyffyy)0,0(),0(lim)0,0(0,00lim0yyyfyffxxyxy)0,0(),0(lim)0,0(0,0xfxffyyxyx)0,0()0,(lim)0,0(0.1.)0,0()0,0(yxxyff显然问题：具备怎样的条件才能使混合偏导数相等？解,)ln(21ln),(2222yxyxyxu定理如果函数z=f(x,y)的两个二阶混合偏导数及在区域D内连续，那末在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等.),(yxfyx),(yxfxy.02222yuxu例6验证函数满足拉普拉斯方程22ln),(yxyxu,22yxxxu,22yxyyu,22yxxxu由于,22yxyyu,)()(2)(222222222222yxxyyxxxyxxu.)()(2)(222222222222yxyxyxyyyxyu2222yuxu因此.02222222222)()(yxyxyxxy证毕三、偏导数在经济分析中的应用—偏边际与偏弹性在一元函数微分学中，我们引出了边际和弹性的概念，来分别表示经济函数在一点的变化率与相对变化率。这些概念也可以推广到多元函数微分学中去，并被赋予了更丰富的经济含义。例如,某种品牌的电视机营销人员在开拓市场时,除了关心本品牌电视机的价格取向外,更关心其他品牌同类型电视机的价格情况,以决定自己的营销策略。),(BAAPPfQAQAPBP即该品牌电视机的销售量是它的价格及其他品牌电视机价格的函数通过分析其边际及可知道，随着及AAPQBAPQAQAP变化而变化的规律。进一步分析其弹性BPBABAAAAAPQPQPQPQ及可知这种变化的灵敏度。前者称为对的弹性;后者称为对的弹性,亦称为对的交叉弹性。这里,我们将主要研究交叉弹性及其经济意义。AQBPAPAQAQBPABBAQPPQ先看如下两个例子：例7随着养鸡工业化程度的提高，肉鸡价格(用表示)会不断下降。现估计明年肉鸡价格将下降5%,BP且猪肉需求量(用表示)对肉鸡价格的交叉弹性为0.85，问明年猪肉的需求量将如何变化?AQ将导致猪肉需求量的下降。解由于鸡肉与猪肉互为替代品，故肉鸡价格的下降依题意，猪肉需求量对肉鸡价格的交叉弹性为,85.0BP而肉鸡价格将下降,%5BBPP于是猪肉的需求量将下降.%25.4BBPAAPPQQB例8某种数码相机的销售量,除与它自身的价格有关外，还与彩色喷墨打印机的价格有关，具体为AQAPBP,102501202BBAAPPPQ求时,(1)对的弹性;5,50BAPPAQAP(2)对的交叉弹性。AQBP解(1)对的弹性为AQAPAAAAAAQPPQEPEQ2210250120250BBAAAPPPPP,)10(2501202502BBAAPPPP当时，5,50BAPP;101)5510(50250501202502AAEPEQ(2)对的弹性为AQBPABBABAQPPQEPEQ,10250120)210(2BBABBPPPPP当时，5,50BAPP;225505120520BAEPEQ由以上两例可知，不同交叉弹性的值，能反映两种商品间的相关性，具体就是：当交叉弹性大于零时，两商品互为替代品；当交叉弹性小于零时，两商品为互补品；当交叉弹性等于零时，两商品为相互独立的商品。一般地，我们对函数z=f(x,y)给出如下定义：定义设函数z=f(x,y)在(x,y)处偏导数存在，函数对x的相对改变量),(),(),(yxfyxfyxxfzzx与自变量x的相对改变量之比xxxxzzx称为函数z=f(x,y)对x从x到x+x两点间的弹性.当x0时，xxzzx的极限称为f(x,y)在(x,y)处对x的弹性，记作或xExEz即ExEzx;lim0zxxzxxzzxx类似可定义f(x,y)在(x,y)对y的弹性EyEzy;lim0zyyzyyzzyy特别地，如果z=f(x,y)中z表示需求量，x表示价格，y表示消费者收入，则表示需求对价格的弹xy性，表示需求对收入的弹性.