理论力学第三章-刚体力学-3

§3.5刚体定点转动运动学1、运动分析：（1）刚体的定点转动可以看成是任一瞬时轴的“定”轴转动。常平架在工程与生活中经常可以遇到此类运动雷达跟踪天线陀螺仪中的转子行星齿轮系中动锥齿轮玩具陀螺等O（2）自由度S=3（4）本体极面，空间极面空间极面：转动瞬轴在空间(固定坐标系中)描绘的曲面。本体极面：转动瞬轴在刚体内(动坐标系中)描绘的曲面。（3）运动学方程ttt潘索定理：本体极面在空间极面上作纯滚动2、速度，加速度(1)速度：r的位矢。点是刚体上一点相对固定角速度。是刚体定点转动的瞬时其中，or(2)加速度：)(rrdtda)(是向轴加速度。是转动加速度。其中，rrdtd(3)刚体作一般运动时，将运动分解为刚体随基点A的平动＋刚体绕基点A的“定点”转动，则刚体上任一点P的速度为rA加速度为)(rrdtdaaA的位矢点相对于基点是APr3、刚体绕两相交轴转动的合成刚体绕某点O作定点转动，相当于刚体绕某轴作“定轴”转动，而该轴又绕另一固定轴转动，这两个轴相交于O点。xyzo12结论：当刚体绕两个相交轴转动时，刚体的瞬时角速度等于它分别绕这两个轴转动的角速度的矢量和。21的方向。方向沿转动瞬轴，即其中，21【例9】半径为R的圆盘以不变的角速度绕水平轴AB转动，而轴AB又以不变的角速度绕竖直轴CD转动，求圆盘水平直径一端M点的速度和加速度。12解：建立平面转动坐标系oxyziRkRjRkirM2121oxyzMABCD12轴转动平面绕方向不变，zxyzrrdtdaMjidtiddtiddtkiddtd2121121jRaM22210【例10】高为h，顶角为2α的圆锥在一平面上滚动而不滑动，如已知此锥以匀角速度ω绕轴转动，试求圆锥底面上A点的转动加速度a1和向轴加速度a2的量值。解:分析)(rrdtda总总总是向轴加速度。是转动加速度。其中，总总总)(rrdtd21总的方向。方向沿转动瞬轴，即其中，总21k2总zxyo12Aho1、在圆锥上建立o-xyz坐标系，母线与ox重合，与圆锥一起运动。ictgictg2总khihr2sincos2coscos2、求总总zxyo12Ah轴转动平面绕方向不变，zxyzrdtda总1jctgikdtidctgdtidctgictgdtddtd2)(总其中，ihctgkhctgkhihjctgrdtda2sincos2coscos)2sincos2coscos(2221总3、求（转动加速度）1a)2sin2(cossin2sincos2coscos222ikhihctgkhctgsin]2sin2[cos)sin(222221hha大小：sin21ha所以：)(2ra总总3、求（向轴加速度）2ajhjhjhctgkhihictgrcos2cossin2cossincos2sincos)2sincos2coscos(总其中，khjhictgrasincos2)cos2()()(222总总sincos22222haa所以：z轴不动，xy平面绕z轴转动1【例11】轴转动平面绕方向不变，zxyz角A刚体的一般运动【例12】211122221112sincossincos2sinsincoscosAaarrVViililkRRVVjkjklilkRRVlVVllijlkRRR22121222212coscos2sinsinlRlVRlVlRVa§3.6欧拉角OyxNNzeee§3.7转动惯量一、定点转动刚体的动量矩设为刚体上任一质点，该质点对定点o的动量矩为iPiiirm整个刚体对同一点o的动量矩为11niiiiniiiiJrmmrrBCBCACBAA其中，21niiiiiJmrrr(1)ozxyirii动坐标系oxyz下面求动量矩的分量表达式J21niiiiiJmrrriiiixyzrxiyjzkijkxxxxxyyxzzyyxxyyyyzzzzxxzyyzzzJIIIJIIIJIII其中，221221221nxxiiiinyyiiiinzziiiiImyzImzxImxy111nxyyxiiiinyzzyiiiinxzzxiiiiIImxyIImyzIImxz以及物理意义？xxxxyxzxyyxyyyzyzzxzyzzzJIIIJIIIJIII二、定点转动刚体的动能2111112212nniiiiiiiniiiiTmmmr1222112212222niiiixxxyyyzzzyzyzzxzxxyxyTrmJIIIIIIBCBCAA其中，12xxxyxzxxyzyxyyyzyzxzyzzzIIITIIIIII三、转动惯量转动惯量：描述刚体转动惯性大小的物理量。2iidmI1、对定轴转动惯性的大小用转动惯量描述，其定义为：2Iddm或回转半径2IImkkm即转动惯量=各质点的质量与该点到转轴距离平方乘积之和。转动惯量由刚体的质量分布和转轴位置决定。刚体对定轴的转动惯量等效质点对定轴的转动惯量221mRI平行轴定理2mdIIc叙述：刚体对某一轴线的转动惯量，等于对通过质心的平行轴的转动惯量加上刚体的质量与两轴间垂直距离平方的乘积。常用到的结果：半径为R的均质圆盘绕过圆心且垂直圆面的转动惯量是：长为的均质细杆绕过中心且与杆垂直的轴线的转动惯量：2121mlIlxxxyxzyxyyyzzxzyzzIIIIIIIII惯量张量：1,,xxyyzzIII其中叫做轴转动惯量，,,yzzxxyIII叫做惯量积2、对定点转动惯性的大小，由于转轴的方向不断变化，要用一个张量才能描述。222222xxyyzzIyzdmIzxdmIxydmxyyxyzzyxzzxIIxydmIIyzdmIIxzdm和oxyzxyzP(dm)注意：若选动坐标系系，惯量系数均为常数(2)惯量椭球－用几何方法求刚体对某瞬时轴的转动惯量ozxylQQ点的坐标为：xRyRzRRxRyRz代入**得表示为矩阵形式：zzzyzxyzyyyxxzxyxxIIIIIIIIII**2222221xxyyzzyzzxxyIxIyIzIyzIzxIxy椭球面方程中心惯量椭球：刚体的质心(或重心)在O点1RI计算出刚体对该轴的转动惯量I用几何方法计算刚体对某瞬时轴的转动惯量如下：若已知椭球面方程，在动系oxyz中描出椭球面，某瞬时轴与椭球面的交点Q到O点的距离即为R，再根据zoxylQ(3)惯量主轴及其求法(适当选择坐标系消去惯量积)①惯量主轴：使惯量积为零的坐标系(惯量椭球的三条相互垂直的主轴)0zxyzxyIII则椭球面方程变为：1232221zIyIxI这里,,,321zzyyxxIIIIII②主惯量－刚体对惯量主轴的转动惯量321,,III注意：1、刚体作定点转动时，总有三个惯量主轴存在，且互相垂直；2、过质心的三个惯量主轴叫中心惯量主轴。③惯量主轴坐标系中的若干物理量的简化表达式惯量张量：321000000IIII动量矩：zyxzyxIIIJJJ321000000动能：zyxzyxIIIT32100000021kIjIiIJzyx321232221212121zyxIIIT④惯量主轴的求法(均质刚体)几何对称轴是惯量主轴几何对称面的垂线是惯量主轴oxzyMM举例：半径为r，高为h的均匀圆柱体证明：(1)几何对称轴是惯量主轴取z轴为对称轴，zyxMzyxM,,,,0011niiiizxniiiizyxzmIyzmIz轴为惯量主轴(2)几何对称轴的垂线是惯量主轴取对称面oyz，zyxMzyxM,,,,0011niiiizxniiiixyxzmIyxmIx轴为惯量主轴若分别取对称面oxy和对称面oxz，同理可证得相应的垂线z轴和y轴均为惯量主轴。oxzy说明：(1)若，则为旋转椭球，则在xy平面内的各轴都是主轴；(2)若，椭球变为球体，所有通过O点的轴都是主轴。yyxxIIzzyyxxIII【例13】均匀长方形薄片的边长为与，质量为，求此长方形薄片绕其对角线转动时的转动惯量。abm设薄片的厚度为t,密度为2222Iydmytudy(1)其中，2222sinsinsinsinayabuayuaaab(2)将(2)式代入(1)式得22sin22233012sinsinsin6aabItyaydytabaaxyouydyab解：方法一直接用定积分计算动坐标系oxyz22sinbab得222216abImab方法二利用计算xyodyabdx222222xxyyzzyzzxxyIIIIIII2222cos,,=0ababab23013bxxIytadytab23013ayyIxtbdxtab220014baxyIxytdxdytab得222216abImab方法三取惯量主轴为坐标轴xyodyabdx2212III23212112bbIytadytab23222112aaIxtbdxtab得222216abImab结论：取惯量主轴为坐标轴来计算薄片绕对角线转动时的转动惯量最简便。由刚体对定点o的动量矩定理MdtJd(1)建立刚联于刚体的惯量主轴坐标系oxyzkIjIiIJzyx