2017年考研数学一真题及答案(全)

数学（一）试题第1页（共4页）2017年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上．（1）若函数1cos,0(),0xxfxaxbx在x连续，则(A)12ab．(B)12ab．(C)0ab．(D)2ab．【答案】A【详解】由01cos1lim2xxbaxa,得12ab.（2）设函数fx可导，且()'()0fxfx则(A)11ff．(B)11ff．(C)11ff．(D)11ff.【答案】C【详解】2()()()[]02fxfxfx,从而2()fx单调递增,22(1)(1)ff.（3）函数22(,,)fxyzxyz在点(1,2,0)处沿着向量(1,2,2)n的方向导数为(A)12．(B)6．(C)4．(D)2．【答案】D【详解】方向余弦12cos,coscos33,偏导数22,,2xyzfxyfxfz,代入coscoscosxyzfff即可.（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10(单位：m)处.图中，实线表示甲的速度曲线1()vvt(单位：m/s)，虚线表示乙的速度曲线2()vvt(单位：m/s)，三块阴影部分面积的数值一次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为(单位：s)，则数学（一）试题第2页（共4页）(A)010t．(B)01520t．(C)025t．(D)025t．【答案】C【详解】在025t时,乙比甲多跑10m,而最开始的时候甲在乙前方10m处.（5）设α为n维单位列向量，E为n阶单位矩阵，则(A)TEαα不可逆．(B)TEαα不可逆．(C)T2Eαα不可逆．(D)T2Eαα不可逆．【答案】A【详解】可设T,则T的特征值为1,0,,0,从而TE的特征值为011,,,,因此TE不可逆.（6）设有矩阵200021001A，210020001B，122C(A)A与C相似，B与C相似．(B)A与C相似，B与C不相似．(C)A与C不相似，B与C相似．(D)A与C不相似，B与C不相似．【答案】B【详解】,AB的特征值为221,,,但A有三个线性无关的特征向量,而B只有两个,所以A可对角化,B则不行.（7）设,AB为随机事件，若0()1PA，0()1PB，则(|)(|)PABPBA的充分必要条件(A)(|)(|)PBAPBA．(B)(|)(|)PBAPBA．(C)(|)(|)PBAPBA．(D)(|)(|)PBAPBA．【答案】A【详解】由(|)(|)PABPAB得()()()()()()1()PABPABPAPABPBPBPB,即()()()PABPAPB;数学（一）试题第3页（共4页）由(|)(|)PBAPBA也可得()()()PABPAPB.（8）设12,,,(2)nXXXn…为来自总体(,1)N的简单随机样本，记11niiXXn，则下列结论不正确的是(A)21()niiX服从2分布．(B)212()nXX服从2分布．(C)21()niiXX服从2分布．(D)2()nX服从2分布．【答案】B【详解】222211~(0,1)()~(),()~(1)1nniiiiiXNXnXXn;221~(,),()~(1);XNnXn2211()~(0,2),~(1)2nnXXXXN.二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸．．．指定位置上．（9）已知函数21(),1fxx(3)(0)f．【答案】0【详解】2421()1(11)1fxxxxx,没有三次项.（10）微分方程032yyy的通解为．【答案】12e(cos2sin2)xyCxCx【详解】特征方程2230rr得12ri,因此12e(cos2sin2)xyCxCx.（11）若曲线积分Lyxaydyxdx122在区域1),(22yxyxD内与路径无关，则a．【答案】1【详解】有题意可得QPxx,解得1a.（12）幂级数111)1(nnnnx在(-1,1)内的和函数()Sx．数学（一）试题第4页（共4页）【答案】21(1)x【详解】112111(1)[()](1)nnnnnnxxx.（13）110211101A，321，，是3维线性无关的列向量，则321,,AAA的秩为．【答案】2【详解】123(,,)()2rrAAAA（14）设随即变量X的分布函数4()0.5()0.5()2xFxx，其中)(x为标准正态分布函数，则EX．【答案】2【详解】00.54()d[0,5()()]d222xEXxfxxxxx.三、解答题：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸．．．指定位置上．（15）（本题满分10分）．设函数(,)fuv具有2阶连续偏导数，(e,cos),xyfx求2200,xxdydydxdx.【答案】(e,cos)xyfx''12'12''''''''''111212122222''''11122sin,0(1,1)sin(sin)sincos0(1,1)(1,1)(1,1)xxxxxdyfefxdxdyxfdxdyfefxefefefxxfxdxdyxfffdx（16）（本题满分10分）．求2limln(1)nkknn.【答案】数学（一）试题第5页（共4页）212221120012202limln(1)1122limln(1)ln(1)...ln(1)11122limln(1)ln(1)...ln(1)1ln(1)ln(1)21111ln(1)02211111ln2221nknnkknnnnnnnnnnnnnnnnnnnxxdxxdxxxxdxxx1011002111ln2[(1)]22111111ln2[()ln(1)]002221111ln2(1ln2)2224dxxxdxdxxxxx（17）（本题满分10分）．已知函数)(xy由方程333320xyxy确定，求)(xy的极值.【答案】333320xyxy①，方程①两边对x求导得：22''33330xyyy②，令'0y，得233,1xx.当1x时1y，当1x时0y.方程②两边再对x求导：'22''''66()330xyyyyy，令'0y，2''6(31)0xyy，当1x，1y时''32y，当1x，0y时''6y.所以当1x时函数有极大值，极大值为1，当1x时函数有极小值，极小值为0.（18）（本题满分10分）．设函数()fx在区间[0,1]上具有2阶导数，且(1)0f，0()lim0xfxx.证明：（I）方程()0fx在区间(0,1)内至少存在一个实根;数学（一）试题第6页（共4页）（II）方程2()''()['()]0fxfxfx在区间(0,1)内至少存在两个不同实根.【答案】(1)0()lim0xfxx，由极限的局部保号性，(0,),()0cfc使得，又(1)0,f由零点存在定理知，(c,1)，使得，()0f.(2)构造()()'()Fxfxfx，(0)(0)'(0)0Fff，()()'()0Fff，0()lim0,'(0)0,xfxfx由拉格朗日中值定理知(1)(0)(0,1),'()010fff，'(0)'()0,ff所以由零点定理知1(0,)(0,1)，使得1'()0f，111()()'()0,Fff所以原方程至少有两个不同实根。（19）（本题满分10分）．设薄片型物体S是圆锥面22yxz被xz22割下的有限部分，其上任意一点处的密度为2229),,(zyxzyx，记圆锥面与柱面的交线为C；（I）求C在xOy平面上的投影曲线的方程；（II）求S的质量M。【答案】(1)C的方程为2222zxyzx，投影到xoy平面的方程为：22(1)10xyz2222222(2)(,,)9+92++MuxyzdSxyzdSxyxydS2cos22322022818+18cos3dxydxdyd320296cos96(1)643d（20）(本题满分11分)．设3矩阵123(,,)A有3个不同的特征值，3122（I）证明：(A)2r;（II）若123，求方程组Ax的解.数学（一）试题第7页（共4页）【答案】.00121,,,021321321213的特征值是，故，A又A有三个不同的特征值，故01为单根，且A一定能相似对角化..2)()(,~rArA（2）由（1），0Ax的通解为Tk1,2,1，321，故有TA1,1,1111,,321，即.).()1,1,1(1,2,1为任意常数的通解为kkAxTT（21）（本题满分11分）．设二次型222123123121323(,,)2282fxxxxxaxxxxxxx在正交变换Qyx下的标准形为221122yy，求a的值及一个正交矩阵Q。（21）【答案】二次型的矩阵aA14111412，因为二次型在正交变换下的标准形为221122yy，故A有特征值0，0A，故2a.由0)6)(3(214111412AE得特征值为0,6,3321.解齐次线性方程组0xAEi，求特征向量.数学（一）试题第8页（共4页）对31，0001101015141214153AE,得1111；对62，0000101014141714146AE,得1012；对03，0002101012141114120AE,得1213；因为123,,属于不同特征值，已经正交，只需规范化：令TTT1,2,161,1,0,121,1,1,1313222111，所求正交矩阵为61213162031612131Q,对应标准形为222163yyf.（22）（本题满分11分）．设随机变量X与Y相互独立，且X的概率分布为1{X0}{X2}2PP，Y的概率密度为2,01()0,yyfy其他.（I）求{YEY}P（II）求ZXY的概率密度。22、【答案】（1）32d2d)(10yyyyyyfEYY，94d2