辅助角公式的推导

1辅助角公式22sincossin()abab的推导在三角函数中，有一种常见而重要的题型，即化sincosab为一个角的一个三角函数的形式，进而求原函数的周期、值域、单调区间等.为了帮助学生记忆和掌握这种题型的解答方法,教师们总结出公式sincosab=22sin()ab或sincosab=22ab·cos(),让学生在大量的训练和考试中加以记忆和活用.但事与愿违,半个学期不到,大部分学生都忘了,教师不得不重推一遍.到了高三一轮复习,再次忘记,教师还得重推!本文旨在通过辅助角公式的另一种自然的推导,体现一种解决问题的过程与方法,减轻学生的记忆负担;同时说明“辅助角”的范围和常见的取角方法,帮助学生澄清一些认识;另外通过例子说明辅助角公式的灵活应用,优化解题过程与方法;最后通过例子说明辅助公式在实际中的应用,让学生把握辅助角与原生角的范围关系,以更好地掌握和使用公式.一.教学中常见的的推导方法教学中常见的推导过程与方法如下1.引例例1求证：3sin+cos=2sin（+6）=2cos（-3）.其证法是从右往左展开证明,也可以从左往右“凑”,使等式得到证明,并得出结论:可见,3sin+cos可以化为一个角的三角函数形式.一般地,asin+bcos是否可以化为一个角的三角函数形式呢?2.辅助角公式的推导例2化sincosab为一个角的一个三角函数的形式.解:asin+bcos=22ab(22aabsin+22babcos),①令22aab=cos,22bab=sin,则asin+bcos=22ab(sincos+cossin)=22absin(+),(其中tan=ba)2②令22aab=sin,22bab=cos,则asin+bcos=22ab(sinsin+coscos)=22abcos(-),(其中tan=ab)其中的大小可以由sin、cos的符号确定的象限,再由tan的值求出.或由tan=ba和(a,b)所在的象限来确定.推导之后,是配套的例题和大量的练习.但是这种推导方法有两个问题:一是为什么要令22aab=cos,22bab=sin?让学生费解.二是这种“规定”式的推导,学生难记易忘、易错!二.让辅助角公式sincosab=22sin()ab来得更自然能否让让辅助角公式来得更自然些?这是我多少年来一直思考的问题.2009年春.我又一次代2008级学生时,终于想出一种与三角函数的定义衔接又通俗易懂的教学推导方法.首先要说明，若a=0或b=0时，sincosab已经是一个角的一个三角函数的形式，无需化简.故有ab≠0.1.在平面直角坐标系中,以a为横坐标,b为纵坐标描一点P(a,b)如图1所示,则总有一个角,它的终边经过点P.设OP=r,r=22ab,由三角函数的定义知sin=br=22bab,cos=22aarab.所以asin+bcos==22abcossin+22absincos=22sin()ab.(其中tan=ba)r图1O的终边P(a,b)yx32.若在平面直角坐标系中,以b为横坐标,以a为纵坐标可以描点P(b,a),如图2所示,则总有一个角的终边经过点P(b,a),设OP=r,则r=22ab.由三角函数的定义知sin=ar=22aab,cos=br=22bab.asin+bcos=2222sincoscosabsinab=22s()abco.(其中tan=ab)例3化3sincos为一个角的一个三角函数的形式.解:在坐标系中描点P(3,1),设角的终边过点P,则OP=r=2231=2.sin=12,cos=32.∴3sincos=2cossin+2sincos=2sin().tan=33.26k,∴3sincos=2sin(6).经过多次的运用,同学们可以在教师的指导下,总结出辅助角公式asin+bcos=22ab(22aabsin+22babcos)=22sin()ab,(其中tan=ba).或者asin+bcos=22ab(22aabsin+22babcos)=22cos()ab,(其中tan=ab)图2rOxy的终边P(b,a)4我想这样的推导,学生理解起来会容易得多,而且也更容易理解asin+bcos凑成22ab(22aabsin+22babcos)的道理,以及为什么只有两种形式的结果.例4化sin3cos为一个角的一个三角函数的形式.解法一:点(1,-3)在第四象限.OP=2.设角过P点.则3sin2,1cos2.满足条件的最小正角为53,52,.3kkZ13sin3cos2(sincos)2(sincoscossin)22552sin()2sin(2)2sin().33k解法二:点P(-3,1)在第二象限,OP=2,设角过P点.则1sin2,3cos2.满足条件的最小正角为56,52,.6kkZ13sin3cos2(sincos)2(sinsincoscos)22552cos()2cos(2)2cos().66k三.关于辅助角的范围问题由22sincossin()abab中,点P(a,b)的位置可知,终边过点P(a,b)的角可能有四种情况(第一象限、第二象限、第三象限、第四象限).设满足条件的最小正角为1,则12k.由诱导公式(一)知22221sincossin()sin()ababab．其5中1(0,2)，1tanba，1的具体位置由1sin与1cos决定，1的大小由1tanba决定．类似地，22sincoscos()abab，的终边过点Ｐ（ｂ，ａ），设满足条件的最小正角为2，则22.k由诱导公式有22222sincoscos()cos()ababab，其中2(0,2)，2tanab，2的位置由2sin和2cos确定，2的大小由2tanab确定．注意：①一般地，12；②以后没有特别说明时，角1（或2）是所求的辅助角．四．关于辅助角公式的灵活应用引入辅助角公式的主要目的是化简三角函数式．在实际中结果是化为正弦还是化为余弦要具体问题具体分析，还有一个重要问题是，并不是每次都要化为221sincossin()abab的形式或222sincoscos()abab的形式．可以利用两角和与差的正、余弦公式灵活处理．例５化下列三角函数式为一个角的一个三角函数的形式．（１）3sincos；（２）26sin()cos()6363．解：（１）313sincos2(sincos)222(sincoscossin)2sin()6666（２）26sin()cos()6363213[sin()cos()]323232[sin()coscos()sin]3333322sin()33在本例第（１）小题中，3a，1b，我们并没有取点Ｐ（3，－１），而取的是点Ｐ（3，１）．也就是说，当a、b中至少有一个是负值时．我们可以取Ｐ（a，b），或者Ｐ（b，a）．这样确定的角1（或2）是锐角，就更加方便．例6已知向量(cos(),1)3ax,1(cos(),)32bx,(sin(),0)3cx,求函数()hx=2abbc的最大值及相应的x的值.解:21()cos()sin()cos()23233hxxxx=21cos(2)1233sin(2)2232xx=1212cos(2)sin(2)22323xx=22222[cos(2)sin(2)]222323xx=211cos(2)2212xmax2()2.2hx7这时111122,.1224xkxkkZ.此处,若转化为两角和与差的正弦公式不仅麻繁,而且易错,请读者一试.五.与辅助角有关的应用题与辅助角有关的应用题在实际中也比较常见,而且涉及辅角的范围,在相应范围内求三角函数的最值往往是个难点.例7如图3,记扇OAB的中心角为45,半径为1,矩形PQMN内接于这个扇形,求矩形的对角线l的最小值.解:连结OM,设∠AOM=.则MQ=sin,OQ=cos,OP=PN=sin.PQ=OQ-OP=cossin.222lMQPQ=22sin(cossin)=31(sin2cos2)22=135sin(2)22,其中11tan2,1(0,)2,11arctan2.04,111arctan2arctan.2222min3522l,min512l.所以当11arctan422时,矩形的对角线l的最小值为512.NBMAQPO图3书资料