点的极坐标与直角坐标的互化

2.2点的极坐标与直角坐标的互化课标解读1.了解极坐标系与直角坐标系的联系．2.理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别．3.能进行极坐标和直角坐标的互化.1．互化的前提条件图1－2－4把直角坐标系的原点作为，x轴的正半轴作为，并在两种坐标系中取相同的，如图1－2－4所示．极点极轴长度单位2．互化公式设M是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)(ρ≥0)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如下表：点M直角坐标(x，y)极坐标(ρ，θ)互化公式x＝ρcosθy＝ρ2＝tanθ＝yx(x≠0)在一般情况下，由tanθ确定角时，可根据点M所在的象限取最小正角．ρsinθx2＋y21．联系点的极坐标与直角坐标的互化公式的纽带是什么？【提示】任意角的三角函数的定义及其基本关系式是联系点的极坐标与直角坐标的互化公式的纽带．事实上，若ρ＞0，sinθ＝yρ，cosθ＝xρ，所以x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，ρ2＝|OM|2＝x2＋y2，tanθ＝yx(x≠0)．2．将直角坐标化为极坐标时如何确定ρ和θ的值？【提示】由ρ2＝x2＋y2求ρ时，ρ不取负值；由tanθ＝yx(x≠0)确定θ时，根据点(x，y)所在的象限取得最小正角．当x≠0时，θ角才能由tanθ＝yx按上述方法确定．当x＝0时，tanθ没有意义，这时又分三种情况：(1)当x＝0，y＝0时，θ可取任何值；(2)当x＝0，y＞0时，可取θ＝π2；(3)当x＝0，y＜0时，可取θ＝3π2.分别把下列点的极坐标化为直角坐标：(1)(2，π6)；(2)(3，π2)；(3)(4，2π3)；(4)(4，－π12)．【思路探究】点的极坐标(ρ，θ)―→x＝ρcosθ，y＝ρsinθ―→点的直角坐标(x，y)【自主解答】(1)∵x＝ρcosθ＝2cosπ6＝3，y＝ρsinθ＝2sinπ6＝1.∴点的极坐标(2，π6)化为直角坐标为(3，1)．(2)∵x＝ρcosθ＝3cosπ2＝0，y＝ρsinθ＝3sinπ2＝3.∴点的极坐标(3，π2)化为直角坐标为(0,3)．(3)∵x＝ρcosθ＝4cos2π3＝－2，y＝ρsinθ＝4sin2π3＝23.∴点的极坐标(4，2π3)化为直角坐标为(－2,23)．(4)∵cosπ12＝1＋cosπ62＝1＋322＝6＋24，sinπ12＝1－cosπ62＝1－322＝6－24，∴x＝ρcosθ＝4cos(－π12)＝4cosπ12＝6＋2，y＝ρsinθ＝4sin(－π12)＝－4sinπ12＝2－6.∴点的极坐标(4，－π12)化为直角坐标为(2＋6，2－6)．1．点的极坐标与直角坐标的互化公式的三个前提条件：①极点与直角坐标系的原点重合；②极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合；③两种坐标系的长度单位相同．2．将点的极坐标(ρ，θ)化为点的直角坐标(x，y)时，运用到求角θ的正弦值和余弦值，熟练掌握特殊角的三角函数值，灵活运用三角恒等变换公式是关键．(2013·洛阳质检)把下列各点的极坐标化为直角坐标，并判断所表示的点在第几象限．(1)(2，4π3)；(2)(2，23π)；(3)(2，－π3)；(4)(2，－2)．【解】(1)由题意知x＝2cos4π3＝2×(－12)＝－1，y＝2sin4π3＝2×(－32)＝－3.∴点(2，4π3)的直角坐标为(－1，－3)，是第三象限内的点．(2)x＝2cos23π＝－1，y＝2sin23π＝3，∴点(2，23π)的直角坐标为(－1，3)，是第二象限内的点．(3)x＝2cos(－π3)＝1，y＝2sin(－π3)＝－3，∴点(2，－π3)的直角坐标为(1，－3)，是第四象限内的点．(4)x＝2cos(－2)＝2cos2，y＝2sin(－2)＝－2sin2.∴点(2，－2)的直角坐标为(2cos2，－2sin2)，是第三象限内的点.分别将下列点的直角坐标化为极坐标(ρ＞0,0≤θ＜2π)．(1)(－1,1)；(2)(－3，－1)．【思路探究】直角坐标(x，y)――→ρ＝x2＋y2tanθ＝yxx≠0极坐标(ρ，θ)【自主解答】(1)∵ρ＝－12＋12＝2，tanθ＝－1，θ∈[0,2π)，∵点(－1,1)在第二象限，∴θ＝3π4，∴直角坐标(－1,1)化为极坐标为(2，3π4)．(2)ρ＝－32＋－12＝2，tanθ＝－1－3＝33，θ∈[0,2π)，∵点(－3，－1)在第三象限，∴θ＝7π6，∴直角坐标(－3，－1)化为极坐标为(2，7π6)．将点的直角坐标(x，y)化为极坐标(ρ，θ)时，运用公式ρ＝x2＋y2，tanθ＝yx(x≠0)即可．在[0,2π)范围内，由tanθ＝yx(x≠0)求θ时，要根据直角坐标的符号特征判断出点所在的象限．如果允许θ∈R，再根据终边相同的角的意义，表示为θ＋2kπ，k∈Z即可．分别将下列点的直角坐标化为极坐标，(ρ＞0，θ∈R)(1)(－2,23)；(2)(6，－2)．【解】(1)∵ρ＝x2＋y2＝－22＋232＝4，tanθ＝yx＝－3，θ∈R，由于点(－2,23)在第二象限，∴θ＝23π＋2kπ，(k∈Z)．∴点(－2,23)化为极坐标为(4，23π＋2kπ)，(k∈Z)．(2)∵ρ＝62＋－22＝22，tanθ＝yx＝－33，θ∈R.由于点(6，－2)在第四象限，所以θ＝116π＋2kπ，(k∈Z)．∴点的直角坐标(6，－2)化为极坐标为(22，116π＋2kπ)，(k∈Z).在极坐标系中，A(2，π4)，B(2，5π4)，且△ABC为等腰直角三角形，如何求直角顶点C的极坐标与该三角形的面积？【解】法一利用坐标转化．对于点A(2，π4)，直角坐标为(2，2)，点B(2，5π4)的直角坐标为(－2，－2)．设点C的直角坐标为(x，y)，由题意得AC⊥BC，且|AC|＝|BC|，∴AC→·BC→＝0，即(x－2，y－2)·(x＋2，y＋2)＝0，∴(x－2)(x＋2)＋(y－2)(y＋2)＝0，∴x2＋y2＝4.①又|AC|2＝|BC|2，于是(x－2)2＋(y－2)2＝(x＋2)2＋(y＋2)2，即y＝－x，代入①得x2＝2，解得x＝±2，∴x＝2y＝－2或x＝－2，y＝2，∴点C的直角坐标为(2，－2)或(－2，2)．∴ρ＝2＋2＝2，tanθ＝－1，θ＝7π4或3π4，∴点C的极坐标为(2，3π4)或(2，7π4)．S△ABC＝12|AC||BC|＝12|AC|2＝12×8＝4.法二设点C的极坐标为(ρ，θ)(ρ＞0,0≤θ＜2π)，∵|AB|＝2|OA|＝4，∠C＝π2，|AC|＝|BC|，∴|AC|＝|BC|＝22，即ρ2＋22－2×2ρcosθ－π4＝8，①ρ2＋22－2×2ρcosθ－5π4＝8，②①＋②化简得ρ2＝4，由ρ＞0得ρ＝2，代入①得cos(θ－π4)＝0，∴θ－π4＝π2＋kπ，k∈Z，即θ＝3π4＋kπ，k∈Z，又0≤θ＜2π，令k＝0,1，得θ＝3π4或7π4，∴点C的极坐标为(2，3π4)或(2，7π4)，S△ABC＝12|AC||BC|＝12|AC|2＝12×8＝4.1．点A的极坐标是(2，7π6)，则点A的直角坐标为()A．(－1，－3)B．(－3，1)C．(－3，－1)D．(3，－1)C2．(2013·周口质检)点M的直角坐标为(0，π2)，则点M的极坐标可以为()A．(π2，0)B．(0，π2)C．(π2，π2)D．(π2，－π2)C3．极坐标为(3,3)的点在直角坐标系的()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限B4．将直角坐标P(－1，－3)化为极坐标(ρ＞0,0≤θ＜2π)．【解】∵ρ＝－12＋－32＝2，tanθ＝－3－1＝3，由于点P(－1，－3)在第三象限，所以θ＝4π3，∴直角坐标P(－1，－3)化为极坐标为(2，4π3).本例综合考查了点的极坐标与直角坐标的互化公式以及等边三角形的意义和性质．结合几何图形可知，点C的坐标有两解，设出点的坐标寻求等量关系建立方程组求解是关键．本题运用了坐标平面内两点间的距离公式：(1)如果已知点的直角坐标A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么|AB|＝x1－x22＋y1－y22；(2)如果已知点的极坐标A(ρ1，θ1)，B(ρ2，θ2)，那么|AB|＝ρ21＋ρ22－2ρ1ρ2cosθ1－θ2.