6实变函数

第六章函数空间Lp简介本讲目的：掌握函数空间Lp的定义及其重要意义，重点与难点：Newton-Leibniz公式的证明。第一节Lp-空间简介第一节Lp-空间简介人们在用迭代方法解微分方程或积分方程时，常常会碰到这样的问题：尽管任意有限次迭代函数都是很好的函数（可微或连续函数），但当施行极限手续以求出准确解时却发现，迭代序列的极限不在原来所限定的范围内，这促使人们将函数的范围拓宽，空间理论正是在此基础上产生的。1907年，F.Riesz与Frechet首先定义了[0，1]上的平方可积函数空间，即}||,|{])1,0([2可积且可测函数是fLebesgueffLp第一节Lp-空间简介随后,人们又进一步考察p-方可积函数，得到空间,考虑这些空间的一个基本思想是，不再是将每一个函数当作一个孤立对象看，而是作为某一类集合中的一个元素，将这个函数集合看作一个整体讨论其结构。如果说前面所研究的Lebesgue可测函数是一棵棵的树木,现在则要将这些树木放在起构成一片森林。pL第一节Lp-空间简介pL]),([baC一.—空间的定义gf,|)()(|maxxgxfbxanR我们知道，Rn中有线性运算，有距离公式，对于两个函数，可以定义它们的线性运算，但它们之间所谓“距离”的定义却不是件简单的是。首先，所定义的距离必须有意义，例如，对于中的两个函数，可以用定义它们的距离，但如果用它来定义一般Lebesgue可测函数间的距离显然是不合适的。其次，所定义的距离，必须满足距离的一些最基本的性质。这些性质是什么呢？我们可以通过中的距离归纳出来，即下面的第一节Lp-空间简介定义1设是一个集合。的函数。满足：1RAA到是A（i）对任意)(0),(0),(,,非负性当且仅当并且gfgfgfAgf（ii）对任意))(,(),(,,对称性gfgfAgf),(),(),(,,,ghhfgfAhgf（iii）对任意（三角不等式）。则称是A上的距离是E上的Lebesgue可测函数，ffELLEppn|{)(,,1记设且Epdxxf}|)(|。第一节Lp-空间简介对任意，显然仍是E上的可测函数，由于对任意实数，有1,)(,RELgfp及gfba,|},||,max{|2||baba所以}|)(|,|)(max{|2|)()(|ppppxgxfxgxf)|)(||||)(||(|2pppppxgxf第一节Lp-空间简介因此不难看出。从的定义，启发我们以下面的方式定义上的距离：由上面的讨论，显见对任意，有)(ELgfp)(ELp)(ELppEpdxxgxfgfp/1]|)()(|[),()(,ELgfp),(0gf第一节Lp-空间简介即上非负的有限函数。它是不是上的距离呢？为此，设，则得，于是，进而由此立得另一方面，若)()(ELELpp是)(ELp0),(gf0]|)()(|[1pEpdxxgxf0|)()(|[Epdxxgxf]..[.0|)()(|Eeaxgxfp]..[.)()(Eeaxgxf].[.)()(1Eeaxfxf].[.)()(1Eeaxgxg第一节Lp-空间简介则，从而。上述分析说明，并不是上的距离，但使的函数必有几乎处处相等的，反之亦然。因此，我们可以将中几乎处处相等的函数放在一起，从而构成新的集合：当且仅当].[.)()()()(11Eeaxgxfxgxf),(),(11gfgf),(gf)(ELp0),(gf)(ELp][),(|]{[)(fgELffELpp]}.[.Eeagf第一节Lp-空间简介对任意，定义不难看到，对任意，，恒有故上面的定义是无歧义的，此外，若，则显然有。这样，作为上的函数的确满足距离定义中的（i），至于（ii）则是显而易见的，所以只需验证它是否满足（iii）。)(][],[ELgfpppEdxgfgf/1]||[])[],([][1ff][1ggppEppEdxgfdxgf/111/1]||[]||[0])[],([gf][][gf)()(ELELpp第一节Lp-空间简介为方便起见，以后也用记，只要说则指的就是与几乎处处相等的函数类，若说则指的就是单一的函数。二。几个重要的不等式引理1设是正数，，，则等式成立当且仅当，或中有一个为0。f][f)(ELfpf][f)(ELfpfba,0,1bababa,第一节Lp-空间简介证明：不妨设（情形可类似证明），由引理的条件知，于是要证的不等式可写成即记，则对任意，存在，使，因，所以，从而，baba1)1()(bababa)1(1)(babaxxF)(1c],1[c1)(1)1()(FcFcF11)1()1()(cFcF第一节Lp-空间简介即。令，立得从证明过程可以看出，等号成立当且仅当或或0，证毕。定理1（霍尔德（Holder）不等式）设，（满足条件的称作共轭数），，，则)1(1ccbac)1(1)(bababa1a111,1,1qpqpqp,)(ELfp)(ELgq),(1ELfg第一节Lp-空间简介且。（1）等式成立当且仅当与相差一个常数因子。证明：若中有一个为0，则（1）式显然成立（事实上，此时（1）式两边都为0），故不妨设均不为0。于是都不为0，qqEppEEdxgdxfdxfg11]||[]||[||pf||qg||gf,gf,dxgdxfqEpE||,||第一节Lp-空间简介记则由引理1，当，都不为0时，有即,1,1,|||)(|)(,|||)(|)(qpdxgxgxbdxfxfxaqEppEp)(xf)(xg)()()()(xbxaxbxaqEqppEdxxgdxxfxgxf11]|)(|[]|)(|[|)()(|EqqEppdxxgxgqdxxfxfp|)(||)(|1|)(||)(|1第一节Lp-空间简介且等号只有在即与只差一个常数因子时才成立，不等式两边作积分得，此即所要的不等式，证毕。定理2（Minkowski不等式）dxxgxgdxxfxfqEqpEp|)(||)(||)(||)(|pf||qg||111]||[]||[|)()(|11qpdxgdxfdxxgxfqqEppEE第一节Lp-空间简介设，，则（2）若，则等号只在与相差一个非负常数因子时成立。证明：当时，不等式显然成立，若,则不等式也是显然的，故不妨1p)(,ELgfpppEdxxgxf1]|)()(|[ppEppEdxxgdxxf11]|)(|[]|)(|[1pfg1p0||dxgfpE第一节Lp-空间简介设，且，注意到时，，故其中是的共轭数，即，于是由Holder不等式得（3）0||dxgfpE1p)(,ELgfp)(ELgfp)(||ELgfpqp1qp111qpdxxgxfxfqpE|)()(||)(|qqqpEppExgxfdxxf11])|)()((|[]|)(|[第一节Lp-空间简介类似地，也有（4）将两个不等式相加得dxxgxfxgqpE|)()(||)(|qqqpEppEdxxgxfdxxg11])|)()((|[]|)(|[dxxgxfdxxgxfqpEpE1|)()(||)()(|}]|)(|[]|)(|{[11EppEppdxxgdxxfdxxgxfxgxfEqp|)()(||))(||)((|第一节Lp-空间简介两边同除以立得所要的不等式。要使（2）式中的等号成立，必须且只需（3）、（4）及（5）的第一个不等式成为等式，而使（3）、（4）成为等式的充要qpEdxxgxf1]|)()(|.[qpEdxxgxf1]|)()(|[第一节Lp-空间简介条件是，与都只差一常数因子.由于假设了从而，所以与只差一常数因子，即存在常数c，使进而。要使（5）中第一个不等式成为等式，必须有pf||pg||qpgf||0||dxgfpE0||qpgfpf||pg||][..||||Eeagcfpp][..||||1Eeagcfp第一节Lp-空间简介这意味着与的符号在E上几乎处处相同，从而由得所以，证毕。由定理2不难看到上的函数满足三角不等式，即对任意，][..|)(||)(||)()(|Eeaxgxfxgxf)(xf)(xg][..|)(||)(|1Eeaxgcxfp][..)()(1Eeaxgcxfp][..)()(1Eeaxgcxfp)()(ELELpp)(,,ELhgfp第一节Lp-空间简介有。事实上，。综上立知是上的距离对，定义),(),(),(ghhfgfppEdxxgxfgf1]|)()(|[),(ppEdxxgxhxhxf1]|)()(||)()(|[),(),(ghhf)(ELfpppEppEdxxgxhdxxhxf11]|)()(|[]|)()(|[)(ELp第一节Lp-空间简介则由距离的定义立得（i），当且仅当。（ii）对任意，。（iii）称满足（i）、（ii）、（iii）的“函数”为上的范数，称为的范数，它是中向量的“模”或“长度”概念的自然推广。ppEpdxxfff1]|)(|[)0,(0pf0pf0f1Rappfaaf))(,(ELgfgfgfppppp)(ELppffnR第六章函数空间Lp简介(续)本讲目的：掌握Lp-空间中的按范数收敛概念，熟悉几种收敛概念的关系，了解Lp-空间的科学意义及其在微分、积分方程中的应用。重点与难点：几种收敛概念的关系。第二节Lp-空间简介(续)第二节Lp-空间简介(续)既然已经有了距离概念，我们便可以在中定义序列的极限。定义2设，，，如果，即，则称是方平均收敛到的可测函数列，或说按中范数收敛到，记作)(ELp)(ELfp)(ELfpn,2,1n0),(limffnn0pnff}{nfp)(||||lim||||nffffpnpnn或ff)(ELpnf第二节Lp-空间简介(续)至此，我们又有了一种函数序列的收敛概念，这种收敛概念与前面的几乎处处收敛以及依测度收敛概念是什么关系？这是我们应该弄清楚的问题。例1令，]1,0[E011,010,)(xxnnxnxfn或第二节Lp-空间简介(续)则对任意，，即在上处处收敛到。然而，当把看作中的元素时，有因此按中范数并不收敛到0。]1,0[x)(0)(nxfnnf]1,0[0fnf)1)((pELp1,11,]|)(|[)0,(111ppndxxffpppnEnnf)(ELp第二节Lp-空间简介(续)例2设，记令……]1,0[E),2,1(),1[,0),1[,1)()(kikikixkikixxfki),()(),()(),()()2(23)2(12)1(11xfxxfxxfx),()(),()(),()()3(36)3(25)3(14xfxxfxxfx第二节Lp-空间简介(续)我们已经知道是处处不收敛到0的函数，现设，则在中，有若,则由于时，显然有，所以即。)}({xn1p)(ELpppnEndx1]||[)0,()()()(xfxnnkinppnEndx1]||[)0,(nnk0)0,(n)(0||||npn第二节Lp-空间简介(续)从例1、例2立知，处处收敛不蕴含方平均收敛，方平均收敛也不