求二次型标准形的方法及正定二次型

二次型及其标准形的概念称为二次型.的二次齐次函数个变量含有定义nxxxn,,,1211221111212131311222223232221,111,1(,,,)222222nnnnnnnnnnnnfxxxaxaxxaxxaxxaxaxxaxxaxaxx2nnnax2．用矩阵表示nnxxaxxaxaf1121122111nnxxaxaxxa222222122122211nnnnnnnxaxxaxxa)()()(nnnnnnnnnnxaxaxaxxaxaxaxxaxaxax22112222121212121111nnnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxaxxx22112222121121211121),,,(.,为对称矩阵其中则二次型可记作AAXXfT,,nnnnnnnxxxXaaaaaaaaaA21212222111211记nnnnnnnnxxxaaaaaaaaaxxx2121222211121121,,,定义合同与，则称，使矩阵若存在可逆和阶矩阵设有两个ABAPPBPBAnT,的合同变换矩阵变为称为把矩阵BAP合同矩阵有一下性质：（1）自反性（2）对称性(3)传递性定理设是一个可逆矩阵,若为对称矩阵,PAAPPBT则也为对称矩阵,且)()(BRAR三、矩阵的合同1.若二次型含有的平方项，则先把含有的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同样进行，直到都配成平方项为止，经过可逆的线性变换，就得到标准形;ixixkkjijjiiyxyyxyyxjiknk,,,2,1且2.若二次型中不含有平方项，但是则先作可逆线性变换0ija),(ji化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方法配方.四、配方法求二次型的标准形五、用初等变换法化二次型为标准形由上节内容知道任何一个二次型都可以表示成矩阵形式AXXxxxaaaaaaaaaxxxxxxfFTnnnnnnnnn212122212112112121),,(),,(然后，经过某个坐标变换可以将它的二次型矩阵变成对角矩阵。CYXyyycccccccccxxxnnnnnnnn或者写成令,2121222211121121其中矩阵A是对称矩阵，即AT=A。DYYACYCYAXXFTTTT是一个可逆的矩阵CACCDT,我们知道，任何一个可逆矩阵都等于一系列的初等矩阵的乘积m),1,2,i是初等矩阵（其中imppppC,21TTTmTpppC12DppAppppmTTTm2112111DAppT22112DpApppTTDppAppppmTTTm2112一系列的合同运算经过一系列的合同运算使矩阵A变成对角矩阵D即所用的变换矩阵就变成了是对角矩阵时当最后换作一次相应的初等行变同时对每作一次初等列变换，，对矩阵构造,,,CECEAAEAEAn2n也就是说，我们可以通过以下步骤得到变换矩阵C以及A的对角化矩阵Λ（二次型的标准化矩阵）。.,4223.132312121并求所用的变换矩阵成标准形化二次型例xxxxxxxf021201113二次型的矩阵为解100010001021201113EA10001001010103313535311312cc1312rr10001001012110331353110001010000331313135353110051021800000033131所给二次型化为标准形所以经过变换,PYX1005102131P其中2322218313yyyf100010010101033135353113131313rrcc232355rrcc.,822.2323121并求所用的变换矩阵成标准形化二次型例xxxxxxf解：041401110A二次型的矩阵为2121rrcc100010001041401110EA10001100104340131212121212rrcc100010103030221212525211000101030302212125252112331233rrcc10011000022321232129252521100114180000002212121232355rrcc2322212182yyyf二次型的标准形为坐标变换矩阵为10011412121C置即所用的变换矩阵的转就变成了是对角矩阵时当最后换作一次相应的初等行变同时对每作一次初等列变换，，对矩阵构造,,,TTCECEAAEAEA2nn在原理上，我们也可以设计初等行变换来求二次型矩阵的标准形及其变换矩阵。DppAppppmTTTm2112111DAppT22112DpApppTTDppAppppmTTTm2112TTTTmCEppp12DACCTD为对角矩阵.,4223.332312121并求所用的变换矩阵成标准形化二次型例xxxxxxxf021201113二次型的矩阵为解100021010201001113)(AE13121312rrcc100010100011033531353113131313rrcc100010001003313135313531232355rrcc1528000100001003313115280001000010033131二次型的标准形为：1005102131C2322218313yyyf坐标变换矩阵为1520100131TC必须说明：不同的初等变换过程，可以获得不同的二次型15280001000010033131例如：131131rc1528000100000013131313221232212,3,3rrcc110003010000014252233313232rrcc03100101000001334252231例3中的二次型，可以继续进行合同运算其标准形为232221zzzf坐标变换矩阵为01030425332231C以上过程告诉我们，二次型可以通过坐标变换化成标准形。2121221121),,,(ydydydDYYAXXxxxfnTTn其中D是对角矩阵，主对角线上各元为d1,d2,…,dn,n个实数进一步进行合同变换，可以将二次型化成如下形式：222212222121),,,(rpppnzzzzzzxxxf该式称为二次型的规范形。r是矩阵A的秩，即二次型的秩。注意：规范型中“+”号的个数与标准型中di0的个数相同。同样，规范型中“-”号的个数与标准型中di0的个数相同。定义：二次型的规范形中正项的个数称为二次型的正惯性系数，负项的个数称为二次型的负惯性系数都是确定的。对于和正惯性系数即它的规范形是唯一的。它的秩为设有实二次型惯性定理：fprzf1222212222,,rpppTzzzzzrAXXf证明：因为r就是二次型矩阵A的秩，所以r是确定的。现在我们来证明正惯性系数p也是唯一的。假设二次型可以化成两个规范形YCyyyCxxxXyyyyyyAXXfnnrpppT1211212222122221其中(1)ZCzzzCxxxXzzzzzzAXXfnnrqqqT2212212222122221其中)3(,2211222212121212111111221nnnnnnnnnnygygygzygygygzygygygzGYYCCZZCYCX(2)由(1)(2)我们有：2212222122122221rqqrppzzzzzyyyyyf如果我们证明p=q，那么二次型的正惯性系数是唯一的。(4)反证法，假设q不等于p，不妨假设pq如果找到不全为零的y1,y2,…,yn，使(4)式不成立，那么假设不成立问题：y1,y2,…,yn取怎样的实数时，(4)式左端大于0，同时相应的z1,z2,…,zn使(4)式右端小于0？2212222122122221rqqrppzzzzzyyyyyf(4)0001nrpyyynqnqqqnnnnygygygzygygygzygygygz22112222121212121111000方程组的未知量个数为n，方程的个数为n-p+qn个。因此有非零解。即存在不全为零的y1,y2,…,yn使（4）式矛盾，矛盾是由于pq造成的。同样，pq亦会产生类似的矛盾。由此得到p=q.惯性定理成立。第二节正定二次型正(负)定二次型的概念正(负)定二次型的判别232221164xxxf为正定二次型22213xxf为负定二次型一、正(负)定二次型的概念不定二次型。其它形式的二次型称为以上的二次型，为半负定二次型。除了则称，都有如果对于任何为半正定二次型则称，都有任何是负定矩阵。如果对于并称对称矩阵为负定二次型则称都有如果对任何是正定矩阵并称对称矩阵次型为正定二则称显然都有如果对任何设有实二次型定义f,0)(0X;f,0)(0X,,0)(0X;,,000)(,0,)(1XfXfAfXfAffXfXAXXXfT例如证明使设可逆变换CYX2222211nnykykykCYfXf充分性.,,10niki设,0X任给,0X-1CY则故.02222211nnykykykXf二、正(负)定二次型的判别.:个系数全为正它的标准形的件是为正定的充分必要条实二次型定理nAXXfT1必要性,0sk假设有,时单位坐标向量则当)(seY.0010021snsskkkkkCef,0sCe显然.为正定相矛盾这与f故.,,10niki推论1.实二次