直接证明--综合法与分析法

§2.2.1直接证明--综合法与分析法1．教学目标：知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。过程与方法:多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。2．教学重点：了解分析法和综合法的思考过程、特点3．教学难点：分析法和综合法的思考过程、特点4．教具准备：与教材内容相关的资料。5．教学设想：分析法和综合法的思考过程、特点.“变形”是解题的关键，是最重一步。因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法。6．教学过程:学生探究过程：合情推理分归纳推理和类比推理，所得的结论的正确性是要证明的，数学中的两大基本证明方法-------直接证明与间接证明。若要证明下列问题：已知a,b0,求证2222()()4abcbcaabc教师活动：给出以上问题，让学生思考应该如何证明，引导学生应用不等式证明。教师最后归结证明方法。学生活动：充分讨论，思考，找出以上问题的证明方法设计意图：引导学生应用不等式证明以上问题，引出综合法的定义证明:因为222,0bcbca,所以22()2abcabc,因为222,0caacb,所以22()2bcaabc.因此,2222()()4abcbcaabc.P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q表示要证明的结论1.综合法综合法：利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数定理）和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法叫做综合法奎屯王新敞新疆用综合法证明不等式的逻辑关系是：11223().....nPQQQQQQQ综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法奎屯王新敞新疆例1、在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为,,abc,且A,B,C成等差数列,,,abc成等比数列,求证△ABC为等边三角形.分析：将A,B,C成等差数列，转化为符号语言就是2B=A+C;A,B,C为△ABC的内角，这是一个隐含条件，明确表示出来是A+B+C=；a,b，c成等比数列，转化为符号语言就是2bac．此时，如果能把角和边统一起来，那么就可以进一步寻找角和边之间的关系，进而判断三角形的形状，余弦定理正好满足要求．于是，可以用余弦定理为工具进行证明．证明：由A,B,C成等差数列，有2B=A+C．①因为A,B,C为△ABC的内角，所以A+B+C=．⑧由①②，得B=3.由a,b，c成等比数列，有2bac.由余弦定理及③，可得222222cosbacacBacac.再由④，得22acacac.2()0ac,因此ac.从而A=C.由②③⑤，得A=B=C=3.所以△ABC为等边三角形．解决数学问题时，往往要先作语言的转换，如把文字语言转换成符号语言，或把符号语言转换成图形语言等．还要通过细致的分析，把其中的隐含条件明确表示出来．例2、已知,,Rba求证.abbababa本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。证明：1)差值比较法：注意到要证的不等式关于ba,对称，不妨设.0ba0)(0bababbabbabababababa，从而原不等式得证。2）商值比较法：设,0ba,0,1baba.1)(baabbabababa故原不等式得证。注：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。用比较法证明不等式的步骤是：作差（或作商）、变形、判断符号。讨论：若题设中去掉1x这一限制条件，要求证的结论如何变换？2.分析法证明数学命题时，还经常从要证的结论Q出发，反推回去，寻求保证Q成立的条件，明尸2成立，再去寻求尸2成立的充分条件尸3件、定理、定义、公理等）为止．乞，再去寻求尸1成立的充分条件尸2；为了证……直到找到一个明显成立的条件（已知条即使Q成立的充分条件尸1．为了证明尸1成立，分析法：证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法叫做分析法奎屯王新敞新疆用分析法证明不等式的逻辑关系是：1121().....()nnnQPPPPPPP分析法的思维特点是：执果索因奎屯王新敞新疆分析法的书写格式：要证明命题B为真，只需要证明命题1B为真，从而有……这只需要证明命题2B为真，从而又有…………这只需要证明命题A为真奎屯王新敞新疆而已知A为真，故命题B必为真奎屯王新敞新疆例3、求证5273证明：因为5273和都是正数，所以为了证明5273只需证明22)52()73(展开得2021210即2521,10212因为2521成立，所以22)52()73(成立即证明了5273说明：①分析法是“执果索因”，步步寻求上一步成立的充分条件，它与综合法是对立统一的两种方法奎屯王新敞新疆②分析法论证“若A则B”这个命题的模式是：为了证明命题B为真，这只需要证明命题B1为真，从而有……这只需要证明命题B2为真，从而又有……这只需要证明命题A为真而已知A为真，故B必真在本例中，如果我们从“2125”出发，逐步倒推回去，就可以用综合法证出结论。但由于我们很难想到从“2125”入手，所以用综合法比较困难。事实上，在解决问题时，我们经常把综合法和分析法结合起来使用：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q‘；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P‘．若由P‘可以推出Q‘成立，就可以证明结论成立．下面来看一个例子．例4已知,()2kkZ，且sincos2sin①2sincossin②求证：22221tan1tan1tan2(1tan)。分析：比较已知条件和结论，发现结论中没有出现角，因此第一步工作可以从已知条件中消去.观察已知条件的结构特点，发现其中蕴含数量关系2(sincos)2sincos1，于是，由①2一2×②得224sin2sin1．把224sin2sin1与结论相比较，发现角相同，但函数名称不同，于是尝试转化结论：统一函数名称，即把正切函数化为正（余）弦函数．把结论转化为22221ssin(ssin)2coco,再与224sin2sin1比较，发现只要把22221ssin(ssin)2coco中的角的余弦转化为正弦，就能达到目的．证明：因为2(sincos)2sincos1，所以将①②代入，可得224sin2sin1.③另一方面，要证22221tan1tan1tan2(1tan)即证22222222sinsin11coscossinsin12(1)coscos，即证22221ssin(ssin)2coco，即证22112sin(12sin)2，即证224sin2sin1。由于上式与③相同，于是问题得证。例5证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面的周长相等，那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大奎屯王新敞新疆分析：当水的流速相同时，水管的流量取决于水管截面面积的大小，设截面的周长为L，则周长为L的圆的半径为2L，截面积为21)2(LT；周长为L的正方形边长为4L，截面积为2)4(L奎屯王新敞新疆所以本题只需证明22)4()2(LL奎屯王新敞新疆证明：设截面的周长为L，依题意，截面是圆的水管的截面面积为2)2(L，截面是正方形的水管的截面面积为2)4(L，所以本题只需证明22)4()2(LL为了证明上式成立，只需证明164222LL两边同乘以正数24L，得411因此，只需证明4上式是成立的，所以22)4()2(LL这就证明了，通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面的周长相等，那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大奎屯王新敞新疆说明：对于较复杂的不等式，直接运用综合法往往不易入手，因此，通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法经常是结合在一起使用的奎屯王新敞新疆巩固练习：第81页练习1,2,32222221,,,2()abcRabbcacabc、求证2323sincoscosABCbaBBCABC、中，已知，且求证：为等边三角形3,,:2abcABCaAbBcCabc、为的三内角的对应边试证明课后作业：第84页1，2,3教学反思：本节课学习了分析法和综合法的思考过程、特点.“变形”是解题的关键，是最重一步。因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法。分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件。综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题。对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由果导因，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法，应用十分广泛。通过本节的学习，学生积极参加课堂教学，顺利地完成了教学任务，达到了预期的教学目的。但由于学生的基础较差，知识遗忘严重，在一定程度上影响了教学进度，使课堂上进度比较紧张。所以在以后的教学过程中，要特别注意学生的实际水平，让学生提前预习，以保证课堂教学进度。通过本节的学习，使学生了解直接证明的基本方法----综合法，了解综合法的思考过程、特点；培养学生的数学计算能力，分析能力，逻辑推理能力。本节的教学应该是比较成功的。例1、已知a，b，c是不全相等的正数，求证：abcbacacbcba6)()()(222222证明：∵22cb≥2bc,a＞0,∴)(22cba≥2abc①同理)(22acb≥2abc②)(22bac≥2abc③因为a，b，c不全相等，所以22cb≥2bc,22ac≥2ca,22ba≥2ab三式不能全取“=”号，从而①、②、③三式也不能全取“=”号奎屯王新敞新疆∴abcbacacbcba6)()()(222222例2、已知a，b，c都是正数，且a，b，c成等比数列，求证：2222)(cbacba证明：左－右=2（ab+bc－ac）∵a，b，c成等比数列，∴acb2又∵a，b，c都是正数，所以acb0≤caca2∴bca∴0)(2)(2)(22bcabbbcabacbcab∴2222)(cbacba例3、若实数1x，求证：.)1()1(32242xxxx证明：采用差值比较法：2242)1()1(3xxxx=3242422221333xxxxxxx=)1(234xxx=)1()1(222xxx=].43)21[()1(222xx,043)21(,0)1(,122xxx且从而∴,0]43)21[()1(222xx∴.)1()1(32242xxxx例4、已知a,b,c,d∈R,求证:ac+bd≤))((2222dcba分析一:用分析法证法一:(1)当ac+bd≤0时,显然成立奎屯王新敞新疆(2)当ac+bd0时,欲证原不等式成立,只需证(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)即证a2c2+2abcd+b2d2≤a2c2+a2d2+b2c2+b2d2即证2abcd≤b2c2+a2d2即证0≤(bc-ad)2因为a,b,c,d∈R,所以上式恒成立,综合(1)、(2)可知:原不等式成立奎屯王新敞新疆分析二:用综合法证法二:(a2+b