1.1-正弦定理---第二课时

首页末页上一页下一页第二课时首页末页上一页下一页学习目标温故知新要点探究典例探究演练广场首页末页上一页下一页学习目标温故知新要点探究典例探究演练广场首页末页上一页下一页学习目标温故知新要点探究典例探究演练广场首页末页上一页下一页学习目标温故知新要点探究典例探究演练广场链接：正弦定理asinA＝bsinB＝csinC.1．正弦定理的推广已知△ABC的三角A、B、C所对的边分别为a、b、c，△ABC外接圆半径为R，则asinA＝bsinB＝csinC＝2R.2．三角形面积公式S＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA.首页末页上一页下一页学习目标温故知新要点探究典例探究演练广场1．在△ABC中，A＝30°，B＝120°，c＝2，则△ABC的面积为(B)(A)32(B)3(C)33(D)3解析：b＝csinC·sinB＝2sin180°－30°－120°·sin120°＝23，∴S△ABC＝12bc·sinA＝12×23×2×12＝3，故选B.首页末页上一页下一页学习目标温故知新要点探究典例探究演练广场2．在△ABC中，acosA＝bcosB＝ccosC，则△ABC是(B)(A)直角三角形(B)等边三角形(C)钝角三角形(D)等腰直角三角形解析：由正弦定理知a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，代入已知式子得2RsinAcosA＝2RsinBcosB＝2RsinCcosC，即tanA＝tanB＝tanC，所以A＝B＝C，即△ABC为等边三角形，故选B.首页末页上一页下一页学习目标温故知新要点探究典例探究演练广场3．在△ABC中，sinA＝13，cosB＝33，a＝1，则b等于(D)(A)33(B)23(C)63(D)6解析：∵B为△ABC的内角，∴B∈(0，π)，cosB＝33，∴sinB＝63，bsinB＝asinA⇒b＝asinBsinA＝6.故选D.首页末页上一页下一页学习目标温故知新要点探究典例探究演练广场4．在△ABC中，角A、B、C所对边分别为a、b、c，若(3b－c)cosA＝acosC，则cosA＝________.解析：依题意知[(3·2RsinB)－2RsinC]cosA＝2RsinAcosC，即3sinBcosA＝sin(A＋C)＝sinB，∵sinB≠0，∴cosA＝33.答案：33首页末页上一页下一页学习目标温故知新要点探究典例探究演练广场首页末页上一页下一页学习目标温故知新要点探究典例探究演练广场探究要点一：正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即asinA＝bsinB＝csinC.由定理公式可以看出，各边和它所对角的正弦的比值是一个常数．下面探寻这个常数的几何意义——三角形外接圆的直径．若△ABC是直角三角形，如图1所示，则有asinA＝bsinB＝csinC＝c＝2R；若△ABC是锐角三角形，如图2①所示，作直径BF，连接CF，则有asinF＝asinA.又因为asinF＝BFsin∠BCF＝2R，所以asinA＝bsinB＝csinC＝2R；首页末页上一页下一页学习目标温故知新要点探究典例探究演练广场若△ABC是钝角三角形，如图2②所示，同理可证出asinA＝bsinB＝csinC＝2R，即正弦定理的比值是三角形外接圆的直径．正弦定理的变式一：由asinA＝bsinB＝csinC＝2R得a＝2R·sinA，b＝2R·sinB，c＝2R·sinC，①其作用是把边化为角；sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R，②其作用是把角化为边；首页末页上一页下一页学习目标温故知新要点探究典例探究演练广场正弦定理的变式二：sinAsinB＝ab，sinBsinC＝bc，sinCsinA＝ca，这组公式的作用也是边角互化；正弦定理的变式三：asinA＝bsinB＝csinC＝a＋b＋csinA＋sinB＋sinC＝2R.首页末页上一页下一页学习目标温故知新要点探究典例探究演练广场探究要点二：三角形面积公式如图，△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，AD为BC边上的高，则AD＝bsinC⇒S△ABC＝12BC·AD＝12absinC.同理，S△ABC＝12bcsinA＝12casinB.首页末页上一页下一页学习目标温故知新要点探究典例探究演练广场探究要点三：三角形恒等式的证明1．利用正弦定理完成边角互化，特别是a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC及sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R的应用．2．结合诱导公式：sin(A＋B)＝sinC或cos(A＋B)＝－cosC及公式xsinθ＋ycosθ＝x2＋y2sin(θ＋φ)(tanφ＝yx)进行化简证明．首页末页上一页下一页学习目标温故知新要点探究典例探究演练广场首页末页上一页下一页学习目标温故知新要点探究典例探究演练广场求三角形面积【例1】在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且B＝30°，c＝23，b＝2，求△ABC的面积．思路点拨：由题目可获取以下主要信息：①已知△ABC的两边b＝2，c＝23；②已知一边的对角B＝30°.解答本题可先由正弦定理求出C，后由三角形内角和定理求出A，最后求三角形面积．首页末页上一页下一页学习目标温故知新要点探究典例探究演练广场解：由正弦定理，得sinC＝c·sinBb＝32.又∵cb，∴C＝60°或C＝120°.当C＝60°时，A＝90°，∴S＝12bcsinA＝12×2×23·sin90°＝23；当C＝120°时，A＝30°，∴S＝12bcsinA＝12×2×23×12＝3，∴△ABC的面积为23或3.由正弦定理的推导过程可以得到如下面积公式S＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB，求三角形面积时，只要知道任意两边及其夹角便可．解决此类题目应注意有一解、两解的情况，防止漏解或多解．首页末页上一页下一页学习目标温故知新要点探究典例探究演练广场变式训练11：在△ABC中，B＝45°，C＝60°，a＝2(3＋1)，求S△ABC.解：A＝180°－(B＋C)＝75°，由正弦定理，得b＝asinBsinA＝4，所以S△ABC＝12absinC＝12×2(3＋1)×4×32＝6＋23.首页末页上一页下一页学习目标温故知新要点探究典例探究演练广场应用正弦定理及变形证明三角恒等式【例2】在△ABC中，求证：a2＋b2c2＝sin2A＋sin2Bsin2C.证明：根据正弦定理，可设asinA＝bsinB＝csinC＝k(k0)，所以左边＝a2＋b2c2＝k2sin2A＋k2sin2Bk2sin2C＝sin2A＋sin2Bsin2C＝右边．原式得证．中心思想：恒等式两边都统一用角表示或统一用边表示．一般来说，用角表示更易于实行变换．首页末页上一页下一页学习目标温故知新要点探究典例探究演练广场变式训练21：在△ABC中，求证：(b－c)sinA＋(c－a)sinB＋(a－b)sinC＝0.证明：上式左边可化为(2RsinB－2RsinC)sinA＋(2RsinC－2RsinA)sinB＋(2RsinA－2RsinB)sinC＝2R(sinBsinA－sinCsinA＋sinCsinB－sinAsinB＋sinAsinC－sinBsinC)＝2R×0＝0.故等式成立．首页末页上一页下一页学习目标温故知新要点探究典例探究演练广场正弦定理与函数、方程、三角函数等知识的综合应用【例3】已知△ABC的面积为3－3，B＝60°，又最大角与最小角的正切值恰为方程x2－3x＋2＝3(x－1)的根，求△ABC的其中两个角和三条边．思路点拨：由题目可获取以下主要信息：①△ABC的面积为3－3；②已知△ABC的一内角B＝60°；③最大角与最小角的正切值为方程x2－3x＋2＝3(x－1)的根．解答本题可先求出最大角与最小角的正切值，进而求出这两个角，然后由三角形的面积公式求出其中两条边的关系，再结合正弦定理即可求出三条边．首页末页上一页下一页学习目标温故知新要点探究典例探究演练广场解：假设A角最小，C角最大，由方程x2－3x＋2＝3(x－1)，解得x1＝1，x2＝2＋3，则tanA＝1，tanC＝3＋2，∴A＝45°，C＝75°.又∵S＝3－3＝12acsinB＝34ac，即ac＝4(3－1)．将A＝45°，C＝75°代入asinA＝csinC，得2a＝(6－2)·c.由ac＝43－12a＝6－2c，得a＝23－2c＝2.又由正弦定理，得b＝asinBsinA＝32－6，∴△ABC另外两角为45°，75°，三边分别为23－2,32－6和2.本例是正弦定理与方程的综合题，利用求方程的根得出两角的正切值求出两角，结合三角形的面积公式求出三边．这样的小综合题将是今后几年高考的热点题之一．首页末页上一页下一页学习目标温故知新要点探究典例探究演练广场变式训练31：在△ABC中，已知内角A＝π3，边BC＝23，设内角B＝x，周长为y.(1)求函数y＝f(x)的解析式和定义域；(2)求y的最大值．解：(1)△ABC的内角和A＋B＋C＝π，由A＝π3，B＞0，C＞0得0＜B＜2π3.应用正弦定理，知AC＝BCsinA·sinB＝23sinπ3·sinx＝4sinx，AB＝BCsinA·sinC＝4sin(2π3－x)．因为y＝AB＋BC＋AC，所以y＝4sinx＋4sin(2π3－x)＋23(0＜x＜2π3)．首页末页上一页下一页学习目标温故知新要点探究典例探究演练广场(2)因为y＝4(sinx＋32cosx＋12sinx)＋23＝43sin(x＋π6)＋23(π6＜x＋π6＜5π6)．所以，当x＋π6＝π2，即x＝π3时，y取得最大值63.首页末页上一页下一页学习目标温故知新要点探究典例探究演练广场【例1】△ABC的三个内角A、B、C的对边分别是a、b、c，如果a2＝b(b＋c)，求证：A＝2B.证明：由正弦定理可知a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，代入a2＝b(b＋c)中，得sin2A＝sinB(sinB＋sinC)，∴sin2A－sin2B＝sinBsinC，∴1－cos2A2－1－cos2B2＝sinBsin(A＋B)，即12(cos2B－cos2A)＝sinBsin(A＋B)，∴sin(A＋B)sin(A－B)＝sinBsin(A＋B)，因为A，B，C为三角形的三内角，所以sin(A＋B)≠0，所以sin(A－B)＝sinB，所以只能有A－B＝B，即A＝2B.首页末页上一页下一页学习目标温故知新要点探究典例探究演练广场【例2】在△ABC中，a、b、c分别为A、B、C所对的边，S为△ABC的面积，且4sinBsin2(π4＋B2)＋cos2B＝1＋3.(1)求B的大小；(2)若a＝4，S＝53，求c的值．解：(1)由4sinBsin2(π4＋B2)＋cos2B＝1＋3得4sinB·1－cosπ2＋B2＋cos2B＝1＋3，即2sinB(1＋sinB)＋1－2sin2B＝1＋3，所以sinB＝32.因为0Bπ，所以B＝π3或B＝2π3.(2)因为a＝4，S＝53，由S＝12acsinB得c＝2SasinB＝2×534×32＝5.首页末页上一页下一页学习目标温故知新要点探究典例探究演练广场首页末页上一页下一页学习目标温故知新要点探究典例探究演练广场(对应学生用书第36～37页)【选题明细表】知识点、方法题号利用正弦定理判定三角形形状1、4、6与三角形面积有关的问题2、3、8三角恒等式的化简与证明6、7正弦定理在解三角形中的应用5、9、10首页末页上一页下一页学习目标温故知新要点探究典例探究演练广场基础达标1．在△ABC中，下列关系一定成立的是(D)(A)absinA(B)a＝bsinA(C)absinA(D)a≥bsinA解析：由asinA＝2R,2R为△ABC外接圆直径，即2R≥b.故选D.2．已知三角形面积为14，外接圆面积为π，则这个三角形的三边边长之积为(A)(A)