函数的奇偶性及对称性(答案)

《必修1》函数专题1三、函数的奇偶性与对称性2『知识与方法梳理知识与方法梳理』☟1、奇偶函数的定义与性质：2、几个初等函数的奇偶性：（1）函数：y=ax+b为奇函数时b=0；为偶函数时a=0.（2）函数：y=ax2+bx+c为奇函数时a=c=0；为偶函数时b=0.（3）函数：y=ax为奇函数的时aR；为偶函数时a=0.（4）指数函数：y=ax(a≠1,a0)与对数函数：y=logax(a≠1,a0)属于非奇非偶函数.（5）幂函数：y=x(∈Q)为奇函数时α为奇数；为偶函数时α为偶数.3、函数图形的对称性：4.常识知识与方法：（1）复合及合成函数的奇偶性：注：f(x),g(x)都是非零函数，表中“非”即非奇非偶函数.(2)奇函数在原点有定义时一定经过原点.(3)一个定义在R上的函数如果有两个对称轴或对称中心，则该函数一定是周期函数.(4)定义域关于原点对称的常函数是偶函数(5)既是奇函数又是偶函数的函数必是零函数『题型分类例析题型分类例析』✍（一）（一）函数奇偶性的概念性质问题■题型结构特征：无解析式函数的奇偶性的判断.★判断识真识真☆1.下列说法正确的是()A．如果一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为奇函数B．如果一个函数为偶函数，则它的定义域关于坐标原点对称C．如果一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为偶函数D．如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数为奇函数2.已知y＝f(x)，x∈(－a，a)，F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(x)是()A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数【例题1】[2014全国课标1文5]设函数)(),(xgxf的定义域为R，且)(xf是奇函数，)(xg是偶函数，则下列结论中正确的是（）A.)()(xgxf是偶函数B.)(|)(|xgxf是奇函数C.|)(|)(xgxf是奇函数D.|)()(|xgxf是奇函数〖类型题〗(一)1.f(x)是定义在R上的奇函数，下列结论中，不正确的是()A．f(－x)＋f(x)＝0B．f(－x)－f(x)＝－2f(x)C．f(x)·f(－x)≤0D.fxf－x＝－12.设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（）A．f(x)+|g(x)|是偶函数B．f(x)-|g(x)|是奇函数C．|f(x)|+g(x)是偶函数D．|f(x)|-g(x)是奇函数3.函数()fx的定义域为R，若(1)fx与(1)fx都是奇函数，则()A.f(x)是偶函数B.f(x)是奇函数C.()(2)fxfxD.(3)fx是奇函数4.函数1211111(),(),,(),,()()nnfxfxfxxxfxxfxLL则函数2015()fx是（）A.奇函数但不是偶函数B.偶函数但不是奇函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数又不是偶函数（二）函数解析式奇偶性的判断■题型结构特征：有解析式函数的奇偶性的判断【例题2】判断下列函数的奇偶性.(1))y=x4-x3x-1;(2)y=12-x2;(3)f(x)=x(12x-1+12);奇偶性定义性质偶函数对定义域内任意x都有f(-x)=f(x)关于y轴对称奇函数对定义域内任意x都有f(-x)=-f(x)关于原点对称函数y=f(x)满足对称性对称轴或中心f(x)=f–1(x)轴对称y=xf(x)=f(2a–x)轴对称x=af(a+x)=f(a–x)轴对称x=af(a+x)=f(b–x)轴对称x=a+b2f(a+x)+f(a-x)=2b中心对称(a,b)f(x)+f(2a-x)=2b中心对称(a,b)f(a+x)+f(b-x)=c中心对称(a+b2,c2)函数f(x)g(x)f[g(x)]f(x)±g(x)f(x)g(x)奇偶性奇奇奇奇偶偶偶偶偶偶奇偶偶非奇偶奇偶非奇非奇非非非非偶偶非非奇非非非非偶非非非非3(4)f(x)=log2(x+x2+1).【例题3】判断函数2220,()20xxxfxxxx的奇偶性并画出它的图像.※解法辩伪※判断函数f(x)=2223,0,2,0,23,0xxxxxxx的奇偶性.〖错解〗∵当x0时，f(-x)=-(-x)2+2(-x)–3=-(x2+2x+3)=-f(x)；∵当x0时，f(-x)=(-x)2+2(-x)+3=-(-x2+2x–3)=-f(x).∴函数f(x)是奇函数.【例题4】[2015广东理3]下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是()A．xexyB．xxy1C．xxy212D．21xy〖类型题〗(二)1.判断下面两个函数的奇偶性并说明为什么：(1)f(x)＝|2x－1|－|2x＋1|；(2)f(x)=x+1x;(3)f(x)=x2-1x+1+1；（4）f(x)＝1－x2，x＞0，0，x＝0，x2－1，x＜0.2.函数y=1-x2+x2-1是（）；A.奇函数但不是偶函数B.偶函数但不是奇函数C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数3.函数y＝1－x2＋91＋|x|是()．A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数4.[2015湖南文8]设函数f(x)=ln(1+x)-ln(1-x)，则f（x）是()A.奇函数，且在（0,1）上是增函数B.奇函数，且在（0,1）上是减函数C.偶函数，且在（0,1）上是增函数D.偶函数，且在（0,1）上是减函数5.函数f(x)=ln(1)(0),0(x=0),ln(1x)(0)xxxxx的奇偶性是（）A.奇函数B.偶函数C.即是奇函数也是偶函数D.非奇非偶函数6.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是()A．y＝－x2＋5(x∈R)B．y＝－xC．y＝x3(x∈R)D．y＝－1x(x∈R，x≠0)7.若函数f（x）=3x+3-x与g（x）=3x-3-x的定义域均为R，则()A．f（x）与g（x）均为偶函数B．f（x）为偶函数，g（x）为奇函数C．f（x）与g（x）均为奇函数D．f（x）为奇函数，g（x）为偶函数（三）利用对称点求值1.分段函数求值■题型结构特征：具有奇偶性的分段函数【例题5】若函数f(x)＝x2＋2xx≥0g(x)x＜0为奇函数，则f(g(－1))＝________.2.抽象函数求值■题型结构特征：具有奇偶性的抽象函数【例题6】设函数f(x)(x∈R)为奇函数，f(1)＝12，且f(x＋2)＝f(x)＋f(2)，则f(5)＝________.3.合成复合函数求值■题型结构特征：具有奇偶性的合成及复合函数★判断识真识真☆给出函数f(x)＝|x3＋1|＋|x3－1|，则下列坐标表示的点一定在函数y＝f(x)的图象上的是()A.(a，－f(a))B．(a，f(－a))C．(－a，－f(a))D．(－a，－f(－a))【例题7】已知函数2ln1931,fxxx则1lg2lg2ff（）A.-1B．0C．1D．2〖类型题〗(三)1.若点(－1,3)在奇函数y＝f(x)的图象上，则f(1)等于()．A．0B．－1C．3D．－32.已知,8)(35bxaxxxf且10)2(f,那么)2(f等于()A．10B．－10C．－18D．－263.已知y＝f(x)＋x2是奇函数，且f(1)＝1.若g(x)＝f(x)＋2，则g(－1)＝________.4.设()fx为定义在R上的奇函数，当0x时，()22xfxxb（b为常数），则(1)f（）A.-3B.-1C.1D.345.已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足2xxaaxgxf1,0aa且，若ag2，则2fA.2B.154C.174D.2a（四）函数的对称中心和轴1.对称轴的判断■题型结构特征：判断是否具有轴对称性或求其对称轴★判断识真识真☆函数412xxfx的图象()A.关于原点对称B.关于直线y=x对称C.关于x轴对称D.关于y轴对称※解法辩伪辩伪※已知f(2x+1)是偶函数，求函数f(2x)及f(x)的图象的对称轴.〖错解〗∵f(2x+1)是偶函数，∴f(2x+1)=f(-2x+1)故f(2x)的对称轴为x=1，f(x)的对称轴为x=12.【例题8】[2017全国新课标1文9]已知函数f(x)=lnx+ln(2-x)，则A．f(x)在(0,2)单调递增B．f(x)在(0,2)单调递减C．y=f(x)的图像关于直线x=1对称D．y=f(x)的图像关于点（1，0）对称2.对称中心的判断■题型结构特征：判断是否具有中心对称性或求对称中心【例题9】三次函数都存在对称中心，某同学发现把函数f(x)=x3-3x2+5x-1的图像平移，使其对称中心变成原点，则新图像对应函数就会变成奇函数.那么函数f(x)图像的对称中心是.〖类型题〗(四)1.已知函数y=f(x+3)是偶函数，则函数y=f(x)图像的对称轴为直线（）A.x=-3B.x=0C.x=3D.x=62.函数y=2|x+3|+１的对称轴为．3.函数22log2xyx的图像（）A.关于原点对称B.关于主线yx对称C.关于y轴对称D.关于直线yx对称4.函数y＝(x－1)3＋1的图象的对称中心是________．5.函数3)()(axxf对任意Rt，总有)1()1(tftf，则)2()2(ff等于.6.用min{a,b}表示a，b两数中的最小值。若函数f(x)=min{|x|,|x+t|}的图像关于直线x=12对称，则t的值为A．-2B．2C．-1D．1（五）函数奇偶性对称性确定的参数问题1.偶函数确定的参数■题型结构特征：已知偶函数求参数【例题10】[2014湖南文15]若axexfx1ln3是偶函数，则a__________.2.奇函数确定的参数■题型结构特征：已知奇函数求参数【例题11】已知函数f(x)＝ax2＋1bx＋c(a，b，c∈Z)是奇函数，又f(1)＝2，f(2)＜3，求a，b，c的值．5※解法辩伪辩伪※已知定义域为R的函数abxfxx122)(,是否存在实数a,b使函数f(x)为奇函数，如果存在求a,b的值，若不存在说明理由.〖错解〗当f(x)是奇函数时，f(0)=0,f(-1)=-f(1),即110,22214babbaa解得2,1ab.故存在a、b实数使f(x)为奇函数.3.非奇偶对称函数确定的参数■题型结构特征：非奇偶函数具有对称性，求参数【例题12】[2015福建文15]若函数()2()xafxaR满足(1)(1)fxfx，且()fx在[,)m单调递增，则实数m的最小值等于_______．【例题13】若函数f(x)=(1－x2)(x2＋ax＋b)的图像关于直线x=－2对称，则f(x)的最大值是______.〖类型题〗(五)1.函数f(x)=x2+ax–1是偶函数，则a的值为.2.若函数f(x)＝(x＋1)(x－a)为偶函数，则a等于()．A．－2B．－1C．1D．23.已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b为偶函数，其定义域为[a－1,2a]，则a＋b＝________.4.若函数f(x)＝－x＋abx＋1为区间[－1,1]上的奇函数，则它在这一区间上的最大值为_______．5.[2015新课标1理13]若函数f(x)＝xln(x＋2ax)为偶函数，则a＝6.设函数f(x)=x(ex+ae-x)(xR)是偶函数，则实数a=______.7.若1()21xfxa是奇函数，则a.8.[2015天津文7]已知定义在R上的函数||()21xmfx（m为实数）为偶函数,记0.5(log3),af=2b(log5),c(2)ffm==,则,,abc,的大小关系为（）A.bcaB.bcaC.bacD.bca9.[2015山东文8]若函数21()2x