极坐标及极坐标方程

考纲点击考情关注1．了解极坐标的基本概念,会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化.2．能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点的圆、圆心在极点或极轴上的圆)表示的极坐标方程.1.主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化．2．在解答题中涉及直线、圆的极坐标方程、参数方程综合考查.极坐标及极坐标方程1.极坐标系:定点O，叫做极点；射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向），就建立了一个极坐标系．极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；角∠xOM叫做极角，记为θ.有序实数对（ρ,θ）叫做M的极坐标，记为M（ρ,θ）．知识回顾知识回顾3．特殊的极坐标方程(1)过极点的直线：(2)过点M(a,0)垂直于极轴的直线：(3)过点M(a,π2)平行于极轴的直线：(4)当圆心位于极点，半径为r：(5)当圆心位于M(r,0)，半径为r：(6)当圆心位于M(r，π2)，半径为r：(7)若圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r的圆方程为：ρcosθ＝a；ρsinθ＝a；ρ＝r；ρ＝2rcosθ；ρ＝2rsinθ.ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ－r2＝0.θ=θ0（ρ∈R）(θ0为直线与极轴夹角)；知识回顾1．在极坐标系中，与点(3，－π3)关于极轴所在直线对称的点的极坐标为()A．(3，23π)B．(3，π3)C．(3，43π)D．(3，56π)讨论总结：M（ρ,θ）关于极点、极轴、极垂线的对称点是什么？课前预练B2．（1）已知点的极坐标分别为(3，π4)，(2，2π3)，(4，π2)，(3，π)，求它们的直角坐标.（2）已知点的直角坐标分别为(3，3)，(0，-2)，(4，0)，（-2，-23），(1，-3)，(-1，1)求它们的极坐标.课前预练课前预练3．极坐标方程ρcosθ＝4表示的曲线是()A．一条平行于极轴的直线B．一条垂直于极轴的直线C．圆心在极轴上的圆D．过极点的圆讨论总结：极坐标方程ρcosθ＝a表示什么？极坐标方程ρsinθ＝a呢？B课前预练4.设曲线的极坐标方程为ρ＝2asinθ(a0)，则它表示的曲线是()A．圆心在点(a,0)直径为a的圆B．圆心在点(0,a)直径为a的圆C．圆心在点(a,0)直径为2a的圆D．圆心在点(0,a)直径为2a的圆讨论总结：极坐标方程ρ＝2acosθ表示的曲线是什么？D课前预练[例1](1)[2013·安徽高考]在极坐标系中，圆ρ＝2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为()A．θ＝0(ρ∈R)和ρcosθ＝2B．θ＝π2(ρ∈R)和ρcosθ＝2C．θ＝π2(ρ∈R)和ρcosθ＝1D．θ＝0(ρ∈R)和ρcosθ＝1典例精析B(2)[2013·北京高考]在极坐标系中，点(2，π6)到直线ρsinθ＝2的距离等于________．典例精析1[解析](1)由ρ＝2cosθ，可得圆的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，所以垂直于x轴的两条切线方程分别为x＝0和x＝2，即所求垂直于极轴的两条切线方程分别为θ＝π2(ρ∈R)和ρcosθ＝2，故选B.(2)由极坐标方程与直角坐标方程的互化关系可知，在极坐标系中，点(2，π6)对应的直角坐标为(3，1)，直线ρsinθ＝2对应的直角坐标方程为y＝2，所以点到直线的距离为1.典例精析例2.在极坐标系中，曲线ρ＝2sinθ与ρcosθ＝－1(0≤θ2π)的交点的极坐标为________．典例精析[解析]ρ＝2sinθ的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，ρcosθ＝－1的直角坐标方程为x＝－1，联立方程，得x2＋y2－2y＝0，x＝－1，解得x＝－1，y＝1，即两曲线的交点为(－1，1)，又0≤θ2π，因此这两条曲线的交点的极坐标为(2，3π4)．[答案](2，3π4)自主探究：在极坐标系中，曲线C1：ρ＝2cosθ，曲线C2：θ＝π4，若曲线C1与C2交于A、B两点，则线段AB的长为________．[解析]曲线C1与C2均经过极点，因此极点是它们的一个公共点．由ρ＝2cosθ，θ＝π4，得ρ＝2，θ＝π4，即曲线C1与C2的另一个交点与极点的距离为2，因此|AB|＝2.[答案]2例3.已知曲线C1的直角坐标方程为2214xy.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.P是曲线C1上一点，(0)xop，将点P绕点O逆时针旋角后得到点Q，2,OMOQ点M的轨迹是曲线C2.(1)求曲线C2的极坐标方程；(2)求│OM│的取值范围．典例精析解析：曲线C1的极坐标方程为22221cossin1,4即22211cossin,4在极坐标系中.设M（,）P（1,），则由题设可知，1,...22①，因为点P在曲线C1上，所以222111cossin....,4②由①②得曲线C2的极坐标方程为.222111cossin16242(2)由(1)得2211(13sin)162OM,因为21OM的取值范围是11,164,所以OM的取值范围是[2,4].课堂小结1、极坐标及极坐标方程；2、极坐标与直角坐标互化；3、极坐标方程的应用.