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已知三角函数图象求解析式方法例析已知函数y=Asin(ωx+φ)+k(A>0,ω>0)的部分图象,求其解析式,与用“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)+k的图象有着密切联系,最主要的是看图象上的“关键点”与“特殊点”.本文就一般情况例析如下.一、A值的确定方法:A等于图象中最高点的纵坐标减去最低点的纵坐标所得差的一半.二、ω值的确定方法:方法1.在一个周期内的五个“关键点”中,若任知其中两点的横坐标,则可先求出周期T,然后据ω=T2求得ω的值.方法2:“特殊点坐标法”。特殊点包括曲线与坐标轴的交点、最高点和最低点等。在求出了A与φ的值之后,可由特殊点的坐标来确定ω的值.三、φ值的确定方法:方法1:“关键点对等法”.确定了ω的值之后,把已知图象上五个关键点之一的横坐标代人ωx+φ,它应与曲线y=sinx上对应五点之一的横坐标相等,由此可求得φ的值.此法最主要的是找准“对等的关键点”,我们知道曲线y=sinx在区间[0,2π]上的第一至第五个关键点的横坐标依次为0、2、π、23、2π,若设所给图象与曲线y=sinx上对应五点的横坐标为xJ(J=1,2,3,4,5),则顺次有ωx1+φ=0、ωx2+φ=2、ωx3+φ=π、ωx4+φ=23、ωx5+φ=2π,由此可求出φ的值。方法2:“筛选选项法”,对于选择题,可根据图象的平移方向经过筛选选项来确定φ的值.方法3:“特殊点坐标法”.(与2中的方法2类同).四、k值的确定方法:K等于图象向上或向下平移的长度,图象上移时k为正值,下移时k为负值.另外A、ω、φ的值还可以通过“解方程(组)法”来求得.例1.图1是函数y=2sin(ωx+φ)(ω>0,φ≤2)的图象,那么正确的是()A.ω=1110,φ=6B.ω=1110,φ=-6C.ω=2,φ=6D.ω=2,φ=-6,解:可用“筛选选项法”.题设图象可看作由y=2sinωx的图象向左平移而得到,所以φ>0排除B和D,由A,C知φ=6;ω值的确定可用“关键点对等法”,图1因点(1211,0)是“五点法”中的第五个点,∴ω·1211+6=2π解得ω=2,故选C.例2.图2是函数y=Asin(ωx+φ)图象上的一段,(A>0,ω>0,φ∈(0,2)),求该函数的解析式.1211π1211πxy02-22XY2208π83π87π解法一:观察图象易得A=2,∴T=2×(87π-83π)=π,∴ω=ππ2=2.∴y=2sin(2x+φ).下面用“关键点对等法”来求出图2φ的值,由2×83π+φ=π(用“第三点”)得φ=4π∴所求函数解析式为y=2sin(2x+4π).说明:若用“第二点”,可由2×8π+φ=2求得φ的值;若用“第五点”,可由2×87π+φ=2π求得φ的值.解法二:由解法一得到T=π,ω=2后,可用“解方程组法”求得φ与A的值,∵点(0,2)及点(83π,0)在图象上,∴Asinφ=2(1)Asin(2×83π+φ)=0(2)由(2)得φ=kπ-43(k∈Z),又φ∈(0,2),∴只有K=1,得φ=4π,代人(1)得A=2.∴所求函数解析式为y=2sin(2x+4π).例3.已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,φ<2)图象上的一部分如图3所示,则必定有()0142xy(A)A=-2(B)ω=1(C)φ=3π(D)K=-2解:观察图象可知A=2,k=2.∴y=2sin(ωx+φ)+2下面用“解方程组法”求φ与ω的值.∵图象过点(0,2+3)、(-6,2)∴2+3=2sinφ+2图32=2sin(-6πω+φ)+2解得ω=2,φ=3π故选C.例4.如图4给出了函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,φ<2)图象的一段,求这个函数的解析式.解:由图象可知T=2×(4-1)=6,∴ω=62π=3π,∴y=2sin(3πx+φ)下面用“特殊点坐标法”求φ,∵图象过点(1,2)∴2=2sin(3π×1+φ),又φ<2图4∴只有φ=6π∴所求函数解析式为y=2sin(3πx+6π).说明:本题φ的值也可由“关键点对等法”来求得,如令3π×1+φ=2π或3π×4+φ=23π等均可求得φ的值.x2+3y046π2
本文标题:已知三角函数图象求解析式方法例析
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