【走向高考】2016高考数学二轮复习 第一部分 微专题强化练 专题26 函数与方程的思想、分类讨论的

走向高考·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索高考二轮总复习第一部分微专题强化练二增分指导练第一部分26(文24)函数与方程的思想、分类讨论的思想考向分析考题引路强化训练231考向分析1．通过函数的零点、函数的最值、方程根的个数及分类讨论，考查函数与方程的关系及应用．2．通过函数、数列、平面向量、三角、不等式、面积与体积计算及解析几何等知识考查方程思想的应用．3．通过数学概念、公式、性质、定理的限制条件、几何图形的形状、位置关系，含参数的讨论等考查分类讨论思想的应用．考题引路考例1(2015·新课标Ⅱ理，13)设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________.[立意与点拨]考查向量共线和方程思想的应用；利用共线条件列方程求解．[答案]12[解析]因为向量λa＋b与a＋2b平行，所以λa＋b＝k(a＋2b)，则λ＝k，1＝2k，所以λ＝12.考例2(文)函数f(x)＝ax3＋3x2＋3x(a≠0)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)在区间(1,2)是增函数，求a的取值范围．[立意与点拨]考查导数的运算，导数在研究函数中的应用和分类讨论思想；(1)由f′(x)为二次函数借助判别式确定其单调区间；(2)由f(x)的单调性建立关于a的不等式求解．[解析](1)f′(x)＝3ax2＋6x＋3，f′(x)＝0的判别式Δ＝36(1－a)．①若a≥1，则Δ≤0，因此f′(x)≥0，且f′(x)＝0当且仅当a＝1，x＝－1，故此时f(x)在R上是增函数．②由于a≠0，故当a1时，f′(x)＝0有两个根：x1＝－1＋1－aa，x2＝－1－1－aa.若0a1，则当x∈(－∞，x2)或x∈(x1，＋∞)时f′(x)0，f(x)分别在(－∞，x2)，(x1，＋∞)是增函数；当x∈(x2，x1)时f′(x)0，故f(x)在(x2，x1)是减函数；若a0，则当x∈(－∞，x1)或(x2，＋∞)时f′(x)0，故f(x)分别在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上是减函数；当x∈(x1，x2)时f′(x)0，故f(x)在(x1，x2)上是增函数．(2)当a0，x0时，f′(x)＝3ax2＋6x＋30，故当a0时，f(x)在区间(1,2)是增函数．当a0时，f(x)在区间(1,2)时是增函数当且仅当f′(1)≥0且f′(2)≥0，解得－54≤a0.综上，a的取值范围是[－54，0)∪(0，＋∞)．(理)(2015·陕西理，21)设fn(x)是等比数列1，x，x2，…，xn的各项和，其中x0，n∈N，n≥2.(1)证明：函数Fn(x)＝fn(x)－2在12，1内有且仅有一个零点(记为xn)，且xn＝12＋12xn＋1n；(2)设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为gn(x)，比较fn(x)和gn(x)的大小，并加以证明．[立意与点拨]考查等比数列、函数的零点、利用导数研究函数的性质及函数思想、转化思想、分类讨论思想；解答本题第(1)问可转化为函数在区间端点值异号且函数单调，第(2)问建立辅助函数h(x)＝fn(x)－gn(x)，通过数列求和、导数研究h(x)的符号来比较大小．[解析](1)Fn(x)＝fn(x)－2＝1＋x＋x2＋…＋xn－2，则Fn(1)＝n－1＞0，Fn(12)＝1＋12＋(12)2＋…＋(12)n－2＝1－12n＋11－12－2＝－12n＜0，所以Fn(x)在(12，1)内至少存在一个零点．又F′n(x)＝1＋2x＋…＋nxn－1＞0，故Fn(x)在(12，1)内单调递增，所以Fn(x)在(12，1)内有且仅有一个零点xn.因为xn是Fn(x)的零点，所以Fn(xn)＝0，即1－xn＋1n1－xn－2＝0，故xn＝12＋12xn＋1n.(2)由题设，gn(x)＝n＋11＋xn2，设h(x)＝fn(x)－gn(x)＝1＋x＋x2＋…＋xn－n＋11＋xn2，x＞0.当x＝1时，fn(x)＝gn(x)；当x≠1时，h′(x)＝1＋2x＋…＋nxn－1－nn＋1xn－12；若0＜x＜1，h′(x)＞xn－1＋2xn－1＋…＋nxn－1－nn＋12xn－1＝nn＋12xn－1－nn＋12xn－1＝0，若x＞1，h′(x)＜xn－1＋2xn－1＋…＋nxn－1－nn＋12xn－1＝nn＋12xn－1－nn＋12xn－1＝0，所以h(x)在(0,1)上递增，在(1，＋∞)上递减，所以h(x)＜h(1)＝0，即fn(x)＜gn(x)．综上所述，当x＝1时，fn(x)＝gn(x)；当x≠1时，fn(x)＜gn(x)．