第二部分 专题一 第五讲 导数的简单应用(选择、填空题型)

第二部分专题一第五讲导练感悟高考热点透析高考创新预测返回第二部分专题一返回第五讲导数的简单应用(选择、填空题型)返回[导练感悟高考]1．选函数y＝12x2－lnx的定义域为(0，＋∞)，y′＝x－1x＝x－1x＋1x，令y′≤0，则可得0x≤1.2．选求导得f′(x)＝ex＋xex＝ex(x＋1)，令f′(x)＝ex(x＋1)＝0，解得x＝－1，易知x＝－1是函数f(x)的极小值点．BD返回3．选设f(x)＝x3－3x＋c，对f(x)求导可得，f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0，可得x＝±1，易知f(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1,1)上单调递减．若f(1)＝1－3＋c＝0，可得c＝2；若f(－1)＝－1＋3＋c＝0，可得c＝－2.4．解析：y′＝3lnx＋1＋3，所以曲线在点(1,1)处的切线斜率为4，所以切线方程为y－1＝4(x－1)，即y＝4x－3.答案：y＝4x－3A返回5．解析：因曲线C2：x2＋(y＋4)2＝2到直线l：y＝x的距离为0－－42－2＝22－2＝2，则曲线C1与直线l不能相交，即x2＋ax，所以x2＋a－x0.设C1：y＝x2＋a上一点为(x0，y0)，则点(x0，y0)到直线l的距离d＝|x0－y0|2＝－x0＋x20＋a2＝x0－122＋a－142≥4a－142＝2，所以a＝94.答案：94返回6．解析：由已知得S＝0axdx＝23x32|a0＝23a32＝a2，所以a12＝23，所以a＝49.答案：49返回[热点透析高考]例1：解析：(1)由于y＝x＋1x－1，所以y′＝－2x－12，于是曲线y＝x＋1x－1在点(3,2)处的切线的斜率k＝y′|x＝3＝－12，因此所求直线的斜率等于2，于是所求直线方程为y－1＝2(x－0)，即2x－y＋1＝0.(2)由题易知，直线y＝kx＋1和曲线y＝x3＋ax＋b均过点A(1,3)，则k＝2，a＋b＝2；又y′＝3x2＋a，则k＝y′|x＝1＝3＋a＝2，所以a＝－1，b＝3.答案：(1)A(2)A返回例2：解析：(1)∵函数f(x)＝ax3＋(a－1)x2＋48(b－3)x＋b的图像关于原点成中心对称，∴a＝1，b＝0，则f′(x)＝3(x2－48)，由f′(x)0可解得x43或x－43，∴f(x)在(－∞，－43)上为增函数，在(43，＋∞)上也为增函数．(2)由题意知f′(x)＝2＋kx2≥0在(1，＋∞)上恒成立，即k≥－2x2在(1，＋∞)上恒成立，所以k≥(－2x2)max，又y＝－2x2在(1，＋∞)上单调递减，所以(－2x2)max＝－2，所以k≥－2，即k的取值范围是[－2，＋∞)．答案：(1)D(2)[－2，＋∞)返回例3：解析：(1)求导，得f′(x)＝－3x2＋2ax，由f(x)在x＝2处取得极值知f′(2)＝0，即－3×4＋2a×2＝0，所以a＝3.由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4，f′(x)＝－3x2＋6x.由此可得f(x)在(－1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，所以当m∈[－1,1]时，f(m)min＝f(0)＝－4.又f′(x)＝－3x2＋6x的图像开口向下，且对称轴为x＝1，所以当n∈[－1,1]时，f′(n)min＝f′(－1)＝－9.于是，f(m)＋f′(n)的最小值为－13.返回答案：(1)A(2)(－1,0)(2)若a＝0，则f′(x)＝0，函数f(x)不存在极值；若a＝－1，则f′(x)＝－(x＋1)2≤0，函数f(x)不存在极值；若a0，当x∈(－1，a)时，f′(x)0，当x∈(a，＋∞)时，f′(x)0，所以函数f(x)在x＝a处取得极小值；若－1a0，当x∈(－1，a)时，f′(x)0，当x∈(a，＋∞)时，f′(x)0，所以函数f(x)在x＝a处取得极大值；若a－1，当x∈(－∞，a)时，f′(x)0，当x∈(a，－1)时，f′(x)0，所以函数f(x)在x＝a处取得极小值．所以a∈(－1,0)．返回例4：解析：(1)由微积分基本定理可得22ef(x)dx＝01x2dx＋21e1xdx＝13x3|10＋lnx|21e＝73.(2)由题意可得0πsinxdx＝|OA|·|AB|，即(－cosx)|π0＝π|AB|，解得|AB|＝2π.答案：(1)C(2)2π返回创新预测1．选由题意可知，f′(x)＝12x，g′(x)＝axa－1，∵l1、l2过点P(1,1)，∴kl1＝f′(1)＝12，kl2＝g′(1)＝a.又∵l1⊥l2，∴kl1·kl2＝12a＝－1，∴a＝－2.2．选考虑当点C运动到与AB共线附近时，三角形面积减n少的速率和三角形面积增大的速率相同，因此，共线点两侧，导数值互为相反数．又因为共线点两侧，面积的变化率不会为0，因此结合各选项知，选D.AD返回3．解析：因为f(x)＝x(ex－1)－12x2，所以f′(x)＝ex－1＋xex－x＝(ex－1)·(x＋1)．令f′(x)0，即(ex－1)(x＋1)0，解得x∈(－∞，－1)或x∈(0，＋∞)．所以函数f(x)的单调增区间为(－∞，－1]和[0，＋∞)．答案：(－∞，－1]和[0，＋∞)返回4．解析：因为f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝4x－1x，由f′(x)＝0，得x＝12.据题意得k－112k＋1，k－1≥0，解得1≤k32.答案：1，32返回5．解析：选依题意得，f′(x)＝x2＋ax＋b，x1，x2是方程f′(x)＝0的两个根，于是有f′－1＝－12＋a－1＋b＝1－a＋b0，f′1＝12＋a＋b＝1＋a＋b0，f′2＝22＋2a＋b＝4＋2a＋b0，f′4＝42＋4a＋b＝16＋4a＋b0，C返回如图，在坐标平面内画出该不等式组表示的平面区域，阴影部分表示的四边形的四个顶点的坐标分别为(－3，－4)，(－1，－2)，(－3,2)，(－5,4)，经验证得：当a＝－5，b＝4时，z＝a＋2b取得最大值3；当a＝－3，b＝－4时，z＝a＋2b取得最小值－11.于是z＝a＋2b的取值范围是(－11,3)．返回6．解析：从图像上可以看到：当x∈(0,1)时，f′(x)＞0；当x∈(1,2)时，f′(x)＜0；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＞0，所以f(x)有两个极值点1和2，且当x＝2时函数取得极小值，当x＝1时函数取得极大值．只有①不正确．答案：①7．选由题中图象易知f(x)＝－x2＋1，则所求面积为201(－x2＋1)dx＝2－x33＋x|10＝43.8．选由题意可得S＝-21(x＋2)dx＋022cosxdx＝4.BC