实变函数试卷及答案

本试卷共6页第1页本试卷共6页第2页__________级_________系___________专业_____________班姓名____________学号__________________——————————————密——————————————封——————————————线————————————____________________________________________________________________________________________________________邯郸学院2009-2010学年第一学期2007级数学与应用数学专业本科期末考试试卷（A）课程名称：实变函数任课教师：刘文菡考试时间：120分钟考试性质（学生填写“√”）：正常考试（）缓考补考（）重修（）提前修读（）题号一二三四五总分满分2010102040100得分阅卷人复核人一、判断正误（每小题2分）1、若一个点不是E的聚点,则必然也不是E的内点.（）2、若)()(xgxf，a.e.于E，)(xf在可测集E上可测，则)(xg也在E上可测．（）3、若)(xf在可测集E上可测，则)(xf在E的任意可测子集上也可测．（）4、任意个开集的交也是开集.（）5、可列集在无限集中具有最小的势．（）6、若E可测，A可测，且0)(EAm，则)(AEmmE．（）7、设()fx在可测集E上可积分，若,()0xEfx，则()0Efx．（）8、由于0,10,10,1，故不存在使0,101和，之间11对应的映射．（）9、..ae收敛的函数列必依测度收敛．（）10、连续函数一定是有界变差函数．（）二、填空题（每空2分）1、设)1,0(12nAn，),0(nAn，,2,1n，则集列}{nA的上限集为________________．2、设P为Cantor集，则mP_____.3、设Q为有理数集,则Q________________．4、)(xf可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.（填“充分”，“必要”，“充要”）5、设mE，则有pL1L,)1(P.三、单项选择题（每小题2分）1、下列断言中()是错误的．（A）零测集是可测集；（B）可数个零测集的并是零测集；（C）任意个零测集的并是零测集；（D）零测集的任意子集是可测集．2、设)(xf是],[ba上绝对连续函数，则下面不成立的是（）．(A))(xf在],[ba上的一致连续函数；(B))(xf在],[ba上处处可导；（C）)(xf在],[ba上L可积；(D))(xf是有界变差函数．3、设()nfx是E上的..ae有限的可测函数列,则下面不成立的是()．（A）若()()nfxfx,则()()nfxfx；(B)sup()nnfx是可测函数；（C）inf()nnfx是可测函数；（D）若()()nfxfx,则()fx可测．4、若()fx是可测函数，则下列断言（）是正确的．(A)()fx在,abL可积|()|fx在,abL可积；(B)(),|()|,fxabRfxabR在可积在可积；满分10得分满分20得分满分10得分本试卷共6页第3页本试卷共6页第4页__________级_________系___________专业_____________班姓名____________学号__________________——————————————密——————————————封——————————————线————————————____________________________________________________________________________________________________________(C)(),|()|,fxabLfxabR在可积在可积；(D)(),()fxaRfxL在广义可积在a,+可积．5、设)(xf是],[ba上有界变差函数，则下面不成立的是（）．(A))(xf在],[ba上有界；(B))(xf在],[ba上几乎处处存在导数；（C）)('xf在],[ba上L可积；(D)baafbfdxxf)()()('．四、计算题（每小题10分）1、设0302]1,0[,)(PxxPxxxf，，其中0P为Cantor集，计算]10[)(，dmxf．2、求极限0ln()limcosxnxnexdxn．五、证明题（每小题10分）1、设()fx是,上的实值连续函数，则对于任意常数,{|()}aExfxa是闭集．2、设在E上)()(xfxfn,而..)()(eaxgxfnn成立,,2,1n,则有)()(xfxgn．满分20得分满分40得分本试卷共6页第5页本试卷共6页第6页__________级_________系___________专业_____________班姓名____________学号__________________——————————————密——————————————封——————————————线————————————____________________________________________________________________________________________________________3、设()fx是E上..ae有限的函数，若对任意0，存在闭子集FE，使()fx在F上连续，且()mEF，证明：()fx是E上的可测函数．(鲁津定理的逆定理)4、在有限闭区间],[ba上的单调有限函数)(xf是有界变差函数．