2012高考数学理专题突破课件第一部分专题五第二讲：椭圆、双曲线、抛物线(含轨迹问题)

专题五解析几何第一部分专题突破方略第二讲椭圆、双曲线、抛物线(含轨迹问题)主干知识整合圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质名称椭圆双曲线抛物线定义|PF1|＋|PF2|＝2a(2a|F1F2|)||PF1|－|PF2||＝2a(2a|F1F2|)|PF|＝|PM|点F不在直.线l上，PM⊥l于M名称椭圆双曲线抛物线标准方程x2a2＋y2b2＝1x2a2－y2b2＝1y2＝2px(ab0)(a0，b0)(p0)图象名称椭圆双曲线抛物线几何性质范围|x|≤a，|y|≤b|x|≥ax≥0顶点(±a,0)，(0，±b)(±a,0)(0,0)对称性关于x轴，y轴和原点对称关于x轴对称焦点(±c,0)(，0)轴长轴长2a，短轴长2b实轴长2a，虚轴长2b离心率(0e1)(e1)e＝1准线x＝±x＝－渐近线y＝±xp2p2e＝ca＝1＋b2a2e＝ca＝1－b2a2a2cba高考热点讲练圆锥曲线的定义、标准方程及性质例1(1)(2011年高考课标全国卷)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为22.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为__________；(2)(2011年高考福建卷)设圆锥曲线Г的两个焦点分别为F1，F2，若曲线Г上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，则曲线Г的离心率等于()A.12或32B.23或2C.12或2D.23或32【解析】(1)设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1，由e＝22知ca＝22，故b2a2＝12.由于△ABF2的周长为|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝16，故a＝4.∴b2＝8.∴椭圆C的方程为x216＋y28＝1.(2)由|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，可设|PF1|＝4k，|F1F2|＝3k，|PF2|＝2k，若圆锥曲线为椭圆，则2a＝6k,2c＝3k，e＝ca＝12.若圆锥曲线为双曲线，则2a＝4k－2k＝2k,2c＝3k，e＝ca＝32.【答案】(1)x216＋y28＝1(2)A【归纳拓展】(1)求圆锥曲线方程常用的方法有定义法、待定系数法、轨迹方程法．而对于双曲线和椭圆在不明确焦点坐标的情况下可以统一设成mx2＋ny2＝1(mn≠0)，这样可以避免对参数的讨论．(2)求椭圆、双曲线的离心率，关键是根据已知条件确定a、b、c的等量关系，然后把b用a、c代换，求ca的值．(3)在双曲线中由于e2＝1＋b2a2，故双曲线的渐近线与离心率密切相关．变式训练1(1)已知双曲线x2a－y22＝1的一个焦点坐标为(－3，0)，则其渐近线方程为__________；(2)已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是()A．2B．3C.115D.3716解析：(1)由a＋2＝3，可得a＝1，∴双曲线方程为x2－y22＝1，∴其渐近线方程为x±y2＝0，即y＝±2x.故填y＝±2x.(2)由y2＝4x可知l2：x＝－1是抛物线的准线，所以P到l2的距离等于P到抛物线的焦点F(1,0)的距离．动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值即为点F(1,0)到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离d＝|4＋6|42＋32＝2，故选A.答案：(1)y＝±2x(2)A直线与圆锥曲线例2(2011年高考北京卷)已知椭圆G：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率为63，右焦点为(22，0)．斜率为1的直线l与椭圆G交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(－3,2)．(1)求椭圆G的方程；(2)求△PAB的面积．【解】(1)由已知得c＝22，ca＝63，解得a＝23.又b2＝a2－c2＝4，所以椭圆G的方程为x212＋y24＝1.(2)设直线l的方程为y＝x＋m.由y＝x＋m，x212＋y24＝1，得4x2＋6mx＋3m2－12＝0.①设A、B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)(x1x2)，AB中点为E(x0，y0)，则x0＝x1＋x22＝－3m4，y0＝x0＋m＝m4.因为AB是等腰△PAB的底边，所以PE⊥AB，所以PE的斜率k＝2－m4－3＋3m4＝－1，解得m＝2.此时方程①为4x2＋12x＝0.解得x1＝－3，x2＝0，所以y1＝－1，y2＝2.所以|AB|＝32，此时，点P(－3,2)到直线AB：x－y＋2＝0的距离d＝|－3－2＋2|2＝322，所以△PAB的面积S＝12|AB|·d＝92.【归纳拓展】直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究由它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题．对于消元后的一元方程ax2＋bx＋c＝0，必须讨论二次项系数和判别式Δ，当二次项数系数a≠0时，Δ0⇔直线与圆锥曲线相交；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切；Δ0⇔直线与圆锥曲线相离．值得注意的是，直线与圆锥曲线相切，它们有一个交点，但直线与圆锥曲线有一个交点并不一定是直线与圆锥曲线相切．变式训练2已知过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＜x2)两点，且|AB|＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若OC→＝OA→＋λOB→，求λ的值．解：(1)直线AB的方程是y＝22x－p2，与y2＝2px联立，从而有4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝5p4.由抛物线定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝9，所以p＝4，从而抛物线方程是y2＝8x.(2)由p＝4知4x2－5px＋p2＝0可化为x2－5x＋4＝0，从而x1＝1，x2＝4，y1＝－22，y2＝42，从而A(1，－22)，B(4,42)．设OC→＝(x3，y3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1,42λ－22)，又y23＝8x3，所以[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.圆锥曲线的综合问题例3(2011年高考上海卷)已知椭圆C：x2m2＋y2＝1(常数m＞1)，P是曲线C上的动点，M是曲线C的右顶点，定点A的坐标为(2,0)．(1)若M与A重合，求曲线C的焦点坐标；(2)若m＝3，求|PA|的最大值与最小值；(3)若|PA|的最小值为|MA|，求实数m的取值范围．【解】(1)由题意知m＝2，椭圆方程为x24＋y2＝1，c＝4－1＝3，∴左、右焦点坐标分别为(－3，0)，(3，0)．(2)m＝3，椭圆方程为x29＋y2＝1，设P(x，y)，则|PA|2＝(x－2)2＋y2＝(x－2)2＋1－x29＝89x－942＋12(－3≤x≤3)，∴当x＝94时，|PA|min＝22；当x＝－3时，|PA|max＝5.(3)设动点P(x，y)，则|PA|2＝(x－2)2＋y2＝(x－2)2＋1－x2m2＝m2－1m2x－2m2m2－12－4m2m2－1＋5(－m≤x≤m)．∵当x＝m时，|PA|取最小值，且m2－1m2＞0，∴2m2m2－1≥m且m＞1，解得1＜m≤1＋2.【归纳拓展】(1)求最值的常用方法：①函数法，如通过二次函数求最值；②三角代换法，转化为弦函数，利用弦函数的有界性求最值；③不等式法，通过基本不等式求最值；④数形结合法，特别关注利用切线的性质求最值．(2)定值问题的求解策略：在几何问题中，有些几何量与参数无关，这就是“定值”问题，解决这类问题常通过取参数和特殊值先确定“定值”是多少，再进行证明，或者将问题转化为代数式，再证明该式是与变量无关的常数．(3)求参数范围的常用方法①函数法，用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解．②不等式法，根据题意建立含参数的不等关系式，通过解不等式求参数范围．③判别式法，建立关于某变量的一元二次方程，利用判别式Δ≥0求参数的范围．④数形结合法，研究该参数所对应的几何意义，利用数形结合思想求解．变式训练3已知抛物线y2＝4x的焦点为F，直线l过点M(4,0)．(1)若点F到直线l的距离为3，求直线l的斜率；(2)设A，B为抛物线上两点，且AB不与x轴垂直，若线段AB的垂直平分线恰过点M，求证：线段AB中点的横坐标为定值．解：(1)由已知，直线l的方程为x＝4时不合题意．设直线l的方程为y＝k(x－4)，由已知，抛物线的焦点坐标为(1,0)，因为点F到直线l的距离为3，所以|3k|1＋k2＝3.解得k＝±22，所以直线l的斜率为±22.(2)证明：设线段AB的中点坐标为N(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为AB不垂直于x轴，则直线MN的斜率为y0x0－4，直线AB的斜率为4－x0y0，直线AB的方程为y－y0＝4－x0y0(x－x0)，联立方程y－y0＝4－x0y0x－x0，y2＝4x，消去x得(1－x04)y2－y0y＋y20＋x0(x0－4)＝0，所以y1＋y2＝4y04－x0，因为N为AB的中点，所以y1＋y22＝y0，即2y04－x0＝y0，所以x0＝2，即线段AB中点的横坐标为定值2.轨迹问题例4(1)若动圆P过点N(－2,0)，且与另一圆M：(x－2)2＋y2＝8相外切，则动圆P的圆心的轨迹方程是__________；(2)已知直线l：2x＋4y＋3＝0，P为l上的动点，O为坐标原点．若2OQ→＝QP→，则点Q的轨迹方程是__________．【解析】(1)因为动圆P过点N，所以|PN|是该圆的半径．又因为动圆P与圆M外切，所以有|PM|＝|PN|＋22，即|PM|－|PN|＝22.故点P的轨迹是以M、N为焦点，实轴长为22，焦距|MN|为4的双曲线的左支．即有a＝2，c＝2，所以b＝c2－a2＝2，从而动圆P的圆心的轨迹方程为x22－y22＝1(x≤－2)．(2)设点Q的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x1，y1)．根据2OQ→＝QP→，得2(x，y)＝(x1－x，y1－y)，即x1＝3x，y1＝3y.∵点P在直线l上，∴2x1＋4y1＋3＝0，把x1＝3x，y1＝3y代入上式并化简，得2x＋4y＋1＝0，即为所求轨迹方程．【答案】(1)x22－y22＝1(x≤－2)(2)2x＋4y＋1＝0【归纳拓展】(1)求轨迹方程的常用方法：①直接法：将几何关系直接翻译成代数方程；②定义法：满足的条件恰适合某已知曲线的定义，用待定系数法解方程；③代入法：把所求动点的坐标与已知动点的坐标建立联系．(2)注意：①建立关系要符合最优化原则；②求轨迹与“求轨迹方程”不同，轨迹通常指的是图形，而轨迹方程则是数学表达式．变式训练4已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率为33，以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线y＝x＋2相切．(1)求a与b；(2)设该椭圆的左、右焦点分别为F1和F2，直线l1过F2且与x轴垂直，动直线l2与y轴垂直，l2交l1于点P.求线段PF1的垂直平分线与l2的交点M的轨迹方程，并指明曲线类型．解：(1)由于e＝33，∴e2＝c2a2＝a2－b2a2＝13，∴b2a2＝23.又以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线y＝x＋2相切，∴b＝|0－0＋2|1＋1＝2，∴b2＝2，a2＝3，因此a＝3，b＝2.(2)由c＝a2－b2＝1得F1(－1,0)，F2(1,0)．设M(x，y)，则P(1，y)．由已知条件易知|MF1|＝|MP|，故(x＋1)2＋y2＝(x－1)2，y2＝－4x，其轨迹是抛物线．考题解答技法例(本题满分12分)(2011年高考四川卷)过点C()0，1的椭圆x2a2＋y2b2＝1()ab0的离心率为32.椭圆与x轴交于两点A()a，0、B()－a，0，过点C的直线l与椭圆交于另一点D，并与x轴交于点P.直线AC与直线BD交于点Q.()1当直线l过椭圆右焦点时，求线段CD的长；()2当点P异于点B时，求证：OP→·OQ→为