关于极坐标系中的求导问题

关于极坐标系中的求导问题设在极坐标系中，存在一个随时间变化的矢量rt。在t时刻为rt，在时刻为，如图所示。在t时刻矢量ttrttrte对应的二个单位矢量分别为：径向(或法向)矢量，图中用黑体表示；径向(或切向、角向)矢量nene，图中用黑体e表示。从t时刻到时刻，矢量变化到ttrtrtt，其变量为rrttrt。根据矢量的分解方法，可以写成nrrr。因此，当时，存在极限：0t000limlimlimntttrrrttt，或者写成导数形式：ndrdrdrdtdtdt。此外，从图中可以看出，当时有0t0。因此，极限情况下，nndrdredtdt，drdredtdt。即ndrdrderedtdtdt。以上的推导是采用了图解方法，从几何角度进行的。实际上，采用矢量导数的方法，注意到矢量，则有nrtrenndrtdedrerdtdtdt。与上面比较，就可以看出：第一项ndredt表示矢量rt沿着径向(法向)的变化快慢；第二项ndedrrdtdte表示矢量rt的方向变化快慢，ndededtdt描述法向单位矢量的转动情况。这里需要注意的是：极坐标系中，随着矢量的变化，对应的单位矢量ne和e跟着移动。een|r||r||rn|r(t)r(t+t)(t+t)(t)