【创新方案】2015高考数学一轮复习(知识回扣+热点突破+能力提升)数列的概念与简单表示法 理 北师

-1-第一节数列的概念与简单表示法【考纲下载】1．了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)．2．了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．1．数列的概念按一定次序排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项．数列一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}，其中数列的第1项a1也称首项；an是数列的第n项，也叫数列的通项．2．数列的分类分类原则类型满足条件项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限项与项间的大小关系递增数列an＋1＞an其中n∈N＋递减数列an＋1＜an常数列an＋1＝an摆动数列从第2项起有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项.3．数列与函数的关系从函数观点看，数列可以看作定义域为正整数集N＋(或它的有限子集)的函数，当自变量从小到大依次取值时，该函数对应的一列函数值就是这个数列．4．数列的通项公式如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子表示成an＝f(n)，那么这个式子就叫作这个数列的通项公式5．an与Sn的关系若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2.数列的通项公式唯一吗？是否每个数列都有通项公式？提示：不唯一，如数列－1,1，－1,1，…的通项公式可以为an＝(－1)n或an＝－1，n为奇数，1，n为偶数.有的数列没有通项公式．1．已知数列32，54，76，9a－b，a＋b10，…，根据前三项给出的规律，则实数对(a，b)可能是()A．(19,3)B．(19，－3)-2-C.192，32D.192，－32解析：选C由前三项可知，该数列的通项公式可能为an＝2n＋12n.所以a－b＝8，a＋b＝11，即a＝192，b＝32.2．已知数列的通项公式为an＝n2－8n＋15，则3()A．不是数列{an}中的项B．只是数列{an}中的第2项C．只是数列{an}中的第6项D．是数列{an}中的第2项或第6项解析：选D令an＝3，即n2－8n＋15＝3，解得n＝2或6，故3是数列{an}中的第2项或第6项．3．数列{an}中，a1＝1，对所有的n∈N*，都有a1a2a3…an＝n2，则a3＋a5＝()A.259B.2516C.3115D.6116解析：选D∵a1a2a3…an＝n2，∴a1a2a3…an－1＝(n－1)2，∴an＝a1a2a3…ana1a2a3…an－1＝n2n－2(n≥2)，∴a3＝94，a5＝2516，∴a3＋a5＝94＋2516＝3616＋2516＝6116.4．在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋1an－1(n≥2)，则a5＝________.解析：由题意知，a1＝1，a2＝2，a3＝32，a4＝53，a5＝85.答案：855．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n－3，则数列{an}的通项公式是________．解析：当n＝1时，a1＝S1＝2－3＝－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n－3)－(2n－1－3)＝2n－2n－1＝2n－1.故an＝－1，n＝1，2n－1，n≥2.答案：an＝－1，n＝1，2n－1，n≥2考点一由数列的前几项归纳数列的通项公式[例1]根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式．(1)－1,7，－13,19，…；(2)0.8,0.88,0.888，…；(3)12，14，－58，1316，－2932，6164，….[自主解答](1)数列中各项的符号可通过(－1)n表示，从第2项起，每一项的绝对值总-3-比它的前一项的绝对值大6，故通项公式为an＝(－1)n(6n－5)．(2)数列变为891－110，891－1102，891－1103，…，故an＝891－110n.(3)各项的分母分别为21,22,23,24，…，易看出第2,3,4项的分子分别比分母小3.因此把第1项变为－2－32，原数列化为－21－321，22－322，－23－323，24－324，…，故an＝(－1)n2n－32n.【方法规律】求数列的通项公式应关注的四个特征(1)分式中分子、分母的特征；(2)相邻项的变化特征；(3)拆项后的特征；(4)各项符号特征等，并对此进行归纳、化归、联想．根据数列的前几项，写出各数列的一个通项公式．(1)3,5,7,9，…；(2)12，34，78，1516，3132，…；(3)－1，32，－13，34，－15，36，….解：(1)各项减去1后为正偶数，∴an＝2n＋1.(2)每一项的分子比分母小1，而分母组成数列21,22,23,24，…，∴an＝2n－12n.(3)数列的奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含有因式(－1)n，各项绝对值的分母组成数列{n}，分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2－1，偶数项为2＋1.∴an＝(－1)n2＋－nn.考点二由递推关系式求通项公式[例2]根据下列条件，确定数列{an}的通项公式．(1)a1＝1，an＝n－1nan－1(n≥2)；(2)a1＝2，an＋1＝an＋3n＋2；(3)a1＝1，an＋1＝3an＋2；(4)a1＝56，an＋1＝5an4an＋1.[自主解答](1)∵an＝n－1nan－1(n≥2)，∴an－1＝n－2n－1an－2，…，a2＝12a1.以上(n－1)个式子相乘，得an＝a1×12×23×…×n－1n＝a1n＝1n.(2)∵an＋1－an＝3n＋2，∴an－an－1＝3n－1(n≥2)，∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝nn＋2(n≥2)．当n＝1时，a1＝12×(3×1＋1)＝2符合公式，∴an＝32n2＋n2.-4-(3)∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，即an＋1＋1an＋1＝3.∴数列{an＋1}为等比数列，公比q＝3.又a1＋1＝2，∴an＋1＝2×3n－1.∴an＝2×3n－1－1.(4)∵an＋1＝5an4an＋1，∴1an＋1＝45＋15an，∴1an＋1－1＝151an－1.又1a1－1＝15，∴1an－1是以15为首项，15为公比的等比数列，∴1an－1＝15·15n－1＝15n，∴an＝5n1＋5n.【方法规律】由递推关系式求通项公式的常用方法(1)已知a1且an－an－1＝f(n)，可用“累加法”求an；(2)已知a1且anan－1＝f(n)，可用“累乘法”求an；(3)已知a1且an＋1＝qan＋b，则an＋1＋k＝q(an＋k)(其中k可由待定系数法确定)，可转化为{an＋k}为等比数列；(4)形如an＋1＝AanBan＋C(A，B，C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解．1．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln1＋1n，则an＝()A．2＋lnnB．2＋(n－1)lnnC．2＋nlnnD．1＋n＋lnn解析：选A由已知，an＋1－an＝lnn＋1n，a1＝2，∴an－an－1＝lnnn－1(n≥2)，an－1－an－2＝lnn－1n－2，…a2－a1＝ln21，将以上n－1个式子相加，得an－a1＝lnnn－1＋lnn－1n－2＋…＋ln21＝lnnn－1·n－1n－2·…·21＝lnn，∴an＝2＋lnn(n≥2)，经检验n＝1时也适合．2．若数列{an}满足：a1＝19，an＋1＝an－3(n∈N*)，则数列{an}的前n项和数值最大时，n的值为()A．6B．7C．8D．9解析：选B∵an＋1－an＝－3，∴数列{an}是以19为首项，－3为公差的等差数列，∴an＝19＋(n－1)×(－3)＝22－3n.设前k项和最大，则有ak≥0，ak＋1≤0，∴22－3k≥0，22－3k＋10，∴193≤k≤223，∵k∈N*，∴k＝7.故满足条件的n的值为7.高频考点考点三an与Sn关系的应用-5-1．an与Sn关系的应用是高考的常考内容，且多出现在选择题或填空题中，有时也出现在解答题的已知条件中，难度较小，属容易题．2．高考对an与Sn关系的考查常有以下两个命题角度：(1)利用an与Sn的关系求通项公式an；(2)利用an与Sn的关系求Sn.[例3](1)(2012·全国高考)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则Sn＝()A．2n－1B.32n-1C.23n－1D.12n－1(2)(2013·新课标全国卷Ⅰ)若数列{an}的前n项和Sn＝23an＋13，则{an}的通项公式是an＝________.(3)(2013·湖南高考改编)设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1≠0,2an－a1＝S1·Sn，n∈N*.求a1，a2，并求数列{an}的通项公式．[自主解答](1)由已知Sn＝2an＋1得Sn＝2(Sn＋1－Sn)，即2Sn＋1＝3Sn，Sn＋1Sn＝32，而S1＝a1＝1，所以Sn＝32n－1.(2)由Sn＝23an＋13，得当n≥2时，Sn－1＝23an－1＋13，∴当n≥2时，an＝－2an－1，又n＝1时，S1＝a1＝23a1＋13，a1＝1，∴an＝(－2)n－1.(3)令n＝1，得2a1－a1＝a21，即a1＝a21.因为a1≠0，所以a1＝1.令n＝2，得2a2－1＝S2＝1＋a2.解得a2＝2.当n≥2时，2an－1＝Sn,2an－1－1＝Sn－1，两式相减，得2an－2an－1＝an，即an＝2an－1.于是数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列．因此，an＝2n－1.所以数列{an}的通项公式为an＝2n－1.[答案](1)B(2)(－2)n－1an与Sn关系的应用问题的常见类型及解题策略(1)由an与Sn的关系求an.数列的通项an与前n项和Sn的关系是an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2.当n＝1时，若a1适合Sn－Sn－1，则n＝1的情况可并入n≥2时的通项an；当n＝1时，若a1不适合Sn－Sn－1，则用分段函数的形式表示．(2)由an与Sn的关系求Sn.通常利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)将已知关系式转化为Sn与Sn－1的关系式，然后求解．1．数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，则a6＝()A．3×44B．3×44＋1C．45D．45＋1解析：选A法一：a1＝1，a2＝3S1＝3，a3＝3S2＝12＝3×41，a4＝3S3＝48＝3×42，a5＝3S4＝3×43，a6＝3S5＝3×44.法二：当n≥1时，an＋1＝3Sn，则an＋2＝3Sn＋1，∴an＋2－an＋1＝3Sn＋1－3Sn＝3an＋1，即an＋2＝4an＋1，∴该数列从第2项开始是以4为公比的等比数列，-6-又a2＝3S1＝3a1＝3，∴an＝1n＝，3×4n－2n∴当n＝6时，a6＝3×46－2＝3×44.2．已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＋Sm＝Sn＋m(m，n∈N*)且a1＝6，那么a10＝()A．10B．60C．6D．54解析：选C由Sn＋Sm＝Sn＋m，得S1＋S9＝S10，又由于a10＝S10－S9＝S1＝a1＝6，故a10＝6.3．若数列{an}的前n项和Sn＝n2－n＋1，则它的通项公式an＝________.解析：∵a1＝S1＝12－1＋1＝1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2－n＋1)－[(n－1)2－(n－1)＋1]＝2n－2.∴an＝1n＝，2n－2n答案：1n＝，2n－2n———————————[课堂归纳——通法领悟]————————————————种关系——数列与函数、an与Sn的关系(1)数列是一种特殊的函数，因此，在研究数列问题时，既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性．(2)an＝S1n＝，Sn－Sn－1n种思路——由递推关系式求