2011届高考数学(一轮)复习精品学案课件：第2章 函数与导数―基本性质

学案3函数的基本性质返回目录1.函数的单调性(1)单调函数的定义设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1x2时,①若,则f(x)在区间D上是;②若,则f(x)在区间D上是.f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)增函数减函数返回目录(2)单调区间的定义若函数f(x)在区间D上是或,那么就说函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,叫做f(x)的单调区间.2.判断函数单调性的方法(1)定义法:利用定义严格判断.(2)利用函数的运算性质:如若f(x),g(x)为增函数,则①f(x)+g(x)为增函数;②为减函数(f(x)0);③为增函数(f(x)≥0);④f(x)·g(x)为增函数(f(x)0,g(x)0);⑤-f(x)为减函数.增函数减函数f(x)1f(x)区间D(3)利用复合函数关系判断单调性.法则是“”，即两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为;若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为.(4)图象法.(5)奇函数在关于原点对称的区间上具有的单调性;偶函数在关于原点对称的区间上具有的单调性.返回目录同增异减增函数减函数相同相反(6)导数法①若f(x)在某个区间内可导,当f′(x)0时,f(x)为函数;当f′(x)0时,f(x)为函数;②若f(x)在某个区间内可导,当f(x)在该区间上递增时,则f′(x)0;当f(x)在该区间上递减时,则f′(x)0.3.奇函数、偶函数的概念一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有，那么函数f(x)就叫做偶函数.一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有,那么函数f(x)就叫做奇函数.返回目录≤f(-x)=f(x)f(-x)=-f(x)增减≥返回目录4.判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性,一般都按照定义严格进行,一般步骤是:(1)考查定义域是否关于;(2)根据定义域考查表达式f(-x)是否等于f(x)或-f(x):若f(-x)=,则f(x)为奇函数;若f(-x)=,则f(x)为偶函数;若f(-x)=且f(-x)=,则f(x)既是奇函数又是偶函数;若f(-x)≠-f(x)且f(-x)≠f(x),则f(x)既不是奇函数又不是偶函数,即非奇非偶函数.f(x)原点对称-f(x)f(x)-f(x)5.奇偶函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性,偶函数在关于原点对称的区间上的单调性(填“相同”“相反”）.(2)在公共定义域内,①两个奇函数的和是,两个奇函数的积是;②两个偶函数的和、积是；③一个奇函数，一个偶函数的积是.返回目录奇函数相同相反奇函数偶函数偶函数返回目录考点一函数单调性的判定及证明已知函数f(x)=ax+(a1).求证：函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数.【分析】(1)用函数单调性的定义.(2)用导数法.1x2-x返回目录【证明】证法一:任取x1,x2∈(-1,+∞),不妨设x1x2,则x2-x10,且0,∴,∵x1+10,x2+10,∴于是f(x2)-f(x1)=0,故函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数.1a12x-x1xa01)-(aaa-a12112x-xxxx0,1)1)(x(x)x-3(x1)1)(x(x1)2)(x-(x-1)2)(x-(x1x2-x-1x2-x211221211211221x2-x-1x2-xa-a1122xx12返回目录证法二:f(x)=ax+1-(a1),求导数得f′(x)=axlna+,∵a1,∴当x-1时,axlna0,0,f′(x)0在(-1,+∞)上恒成立,则f(x)在(-1,+∞)上为增函数.证法三:∵a1,∴y=ax为增函数,又y=在(-1,+∞)上也是增函数.∴y=ax+在(-1,+∞)上为增函数.1x321)(x321)(x31x3-11x2x1x2x【评析】对于给出具体解析式的函数,判断或证明其在某区间上的单调性问题,可以结合定义(基本步骤为取点、作差或作商、变形、判断）求解.可导函数则可以利用导数解之.返回目录返回目录＊对应演练＊讨论函数f(x)=x+(a0)的单调性.xa解法一:显然f(x)为奇函数,所以先讨论函数f(x)在(0,+∞)上的单调性,设x1x20,则∴当0x2x1≤时，1,则f(x1)-f(x2)0，即f(x1)f(x2),故f(x)在(0,］上是减函数.当x1x2≥时，01，则f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),故f(x)在［,+∞)上是增函数.∵f(x)是奇函数，∴f(x)分别在(-∞,-］,［,+∞)上为增函数；f(x)分别在［-,0),(0,］上为减函数.返回目录).xxa-)·(1x-(x)xa(x-)xa(x21212211a21xxaa21xxaaaaaaaf(x1)-f(x2)=返回目录解法二:由f′(x)=1-=0可得x=±.当x时或x-时,f′(x)0,∴f(x)分别在［,+∞),(-∞,-］上是增函数.同理0x或-x0时,f′(x)0,即f(x)分别在(0,］,［-,0)上是减函数.2xaaaaaaaaaa考点二复合函数的单调性判断函数f(x)=在定义域上的单调性.【分析】此题f(x)是由f(x)=,u(x)=x2-1两个函数复合而成,只需判断这两个函数的单调性.1-x2返回目录u(x)【解析】函数的定义域为{x|x≤-1或x≥1},则f(x)=,可分解成两个简单函数:f(x)=,u(x)=x2-1的形式.当x≥1时，u(x)为增函数，为增函数.∴f(x)=在［1,+∞)上为增函数.当x≤-1时，u(x)为减函数，为减函数.∴f(x)=在(-∞,-1］上为减函数.返回目录1-x2u(x)u(x)12xu(x)12x返回目录【评析】(1)复合函数是指由若干个函数复合而成的函数,它的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其单调性的规律为“同增异减”，即f(u)与g(x)有相同的单调性，则f［g(x)］必为增函数，若具有不同的单调性，则f［g(x)］必为减函数.(2)讨论复合函数单调性的步骤是:①求出复合函数的定义域;②把复合函数分解成若干个常见的基本函数并判断其单调性;③把中间变量的变化范围转化成自变量的变化范围;④根据上述复合函数的单调性规律判定其单调性.返回目录＊对应演练＊求函数的单调区间.由4x-x20,得函数的定义域是(0,4).令t=4x-x2,则y=.∵t=4x-x2=-(x-2)2+4,∴t=4x-x2的单调减区间是［2,4),增区间是(0,2］.又y=在(0,+∞)上是减函数,∴函数y=的单调减区间是(0,2］,单调增区间是［2,4).)x-(4xlogy221tlog21tlog21)x-(4xlog221返回目录考点三函数单调性的应用函数f(x)对任意的a,b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x0时,f(x)1.(1)求证:f(x)是R上的增函数;(2)若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)3.【分析】(1)是抽象函数单调性的证明,所以要用单调性的定义.(2)将函数不等式中抽象的函数符号“f”运用单调性“去掉”，为此,需将右边常数3看成某个变量的函数值.【解析】(1)证明:设x1,x2∈R,且x1x2,则x2-x10,∴f(x2-x1)1.f(x2)-f(x1)=f［(x2-x1)+x1］-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-10.∴f(x2)f(x1).即f(x)是R上的增函数.返回目录返回目录(2)∵f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)-1=5,∴f(2)=3,∴原不等式可化为f(3m2-m-2)f(2),∵f(x)是R上的增函数,∴3m2-m-22,解得-1m.故解集为.3434,1【评析】(1)f(x)在定义域上(或某一单调区间上)具有单调性,则f(x1)f(x2)f(x1)-f(x2)0,若函数是增函数,则f(x1)f(x2)x1x2,函数不等式(或方程)的求解,总是想方设法去掉抽象函数的符号,化为一般不等式(或方程)求解,但无论如何都必须在定义域内或给定的范围内进行.(2)在解答过程中易出现不能正确构造f(x2-x1)的形式或不能将不等式右边3转化为f(2),从而不能应用函数的单调性求解.导致此种错误的原因是没有熟练掌握单调性的含义及没弄清如何利用题目中的已知条件或者不能正确地将抽象不等式进行转化.返回目录返回目录＊对应演练＊已知函数f(x)的定义域是(0,+∞)，当x1时，f(x)0，且f(x·y)=f(x)+f(y).（1）求f(1);（2）证明f(x)在定义域上是增函数；（3）如果f（）=-1，求满足不等式f(x)-≥2的x的取值范围.31)2-x1f(（1）令x=y=1，得f(1)=2f(1)，故f(1)=0.（2）证明:令y=,得f(1）=f(x)+f（）=0，故f（）=-f(x).任取x1,x2∈(0,+∞)，且x1x2,则f(x2)-f(x1)=f(x2)+f（）=f（）.由于1,故f0，从而f(x2)f(x1).∴f(x)在(0,+∞)上是增函数.返回目录x1x1x111x12xx12xx)(12xx（3）由于f=-1，而f=-f(3)，故f(3)=1.在f(x·y)=f(x)+f(y)中，令x=y=3,得f(9)=f(3)+f(3)=2.又-f（）=f(x-2)，故所给不等式可化为f(x)+f(x-2)≥f(9)，即f［x(x-2)］≥f(9).x0,x-20,x(x-2)≥9.∴x的取值范围是［1+,+∞).返回目录)31()31(21x解得x≥1+.10∴10返回目录考点四判断函数的奇偶性判断下列函数的奇偶性：（1）f(x)=；（2）f(x)=log2(x+)(x∈R)；x2+x(x0)x2-x(x0)；（4）f(x)=lg|x-2|.【分析】判断函数奇偶性应分两步:（1）定义域是否关于原点对称;（2）判断f(-x)与f(x)的关系.22x-1·1-x12x（3）f(x)=返回目录【解析】（1）∵x2-1≥0且1-x2≥0,∴x=±1，即f(x)的定义域是{-1,1}.∴f(1)=0,f(-1)=0,∴f(1)=f(-1),f(-1)=-f(1)，故f(x)既是奇函数又是偶函数.（2）已知f(x)的定义域为R，∵f(-x)=log2［-x+］=log2=-log2(x+)=-f(x),∴f(x)是奇函数.1xx121x21(-x)2返回目录（3）当x0时，-x0，则f(-x)=(-x)2-(-x)=x2+x=f(x)；当x0时,-x0,则f(-x)=(-x)2+(-x)=x2-x=f(x).∴对任意x∈(-∞,0)∪(0,+∞),都有f(-x)=f(x)，故f(x)为偶函数.（4）由|x-2|0，得x≠2.∴f(x)的定义域{x|x≠2}关于原点不对称，故f(x)既不是奇函数也不是偶函数.返回目录【评析】判断函数的奇偶性,一般有以下几种方法:(1)定义法:若函数的定义域不是关于原点的对称区域,则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数;若函数的定义域是关于原点的对称区域,再判断f(-x)是否等于±f(x)或判断f(x)±f(-x)是否等于零或判断f(-x)≠0)是否等于±1等.(2)图象法:奇(或偶)函数的充要条件是它的图象关于原点(或y轴)对称.(3)性质法:偶函数的和、差、积、商（分母不为零）仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数；奇（偶）数个奇函数的积、商（分母不为零）为奇（偶）函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数.(注:利用上述结论时要注意各函数的定义域.)x)f(f(x)返回目录＊对应演练＊判断下列各函数的奇偶性:(1)f(x)=(x-2);