知识点26-奇偶函数与周期函数的导数的性质

学科：高等数学第二章导数与微分知识点26奇偶函数与周期函数的导数的性质精选习题作者：邹群例26.1(难度系数0.4)用定义证明：(1)若偶函数可导，则其导函数是奇函数；(2)若奇函数可导，则其导函数是偶函数；(3)若周期函数可导，则其导函数仍是周期函数，且周期不变.解析：根据导数的概念.证明：(1)若是偶函数，，则()fx()()fxfx，0()()()limxfxxfxfxx0()()lim()xfxxfxfxx故为奇函数.()fx(2)若是奇函数，，则()fx()()fxfx0()()()limxfxxfxfxx0()()limxfxxfxx，0()()lim()xfxxfxfxx故为偶函数.()fx(3)若是周期函数，且周期为，，则()fxT()()fxTfx，0()()()limxfxTxfxTfxTx0()()lim()xfxxfxfxx故是周期函数，且周期不变.()fx注：此题的结论可以作为一个定理来使用.例26.2(难度系数0.4)若为内的可导奇函数，则().fx,ll''fx(A)必为内的奇函数(B)必为内的偶函数,ll,ll(C)必为内的非奇非偶函数(D)可能为奇函数，也可能为偶函数,ll解析：例26.1的结论应用两次，可知(A)正确.解：(B).例26.3(难度系数0.4，跨知识点53)设为奇函数，则为().0()xFxtftdt()fx(A)奇函数(B)偶函数(C)非奇非偶函数(D)不能确定解析：由例26.1的结论，为偶函数，即，即'()Fxxfx''FxFx，即，为奇函数.()()xfxxfx()()fxfx()fx解：(A).例26.4(难度系数0.6)如果为偶函数，且存在，证明.fx0f00f解析：遇到考虑奇偶函数在原点的导数时，常常考虑左右极限.由存在0f知，若能证明，则得证.000fff00ff00f证明：因为存在，所以，而0f000fff，0000000limlimlim00xtttxfxfftfftfffxtt又已知存在，所以.所以.0f00ff00f例26.4(难度系数0.4)设在内可导，周期为4，且()fx，则曲线在点处切线的斜率为.0(1)(1)lim12xffxx()yfx(5,(5))f解析：由可得，即，0(1)(1)lim12xffxx0(1)(1)lim2xfxfx(1)2f所以曲线在点处切线的斜率为.()yfx(5,(5))f2据已知的周期为4，得，求导得，故()fx(4)()fxfx(4)()fxfx，(5)(1)2ff所以曲线在点处切线斜率为.()yfx(5,(5))f2解：.2