必修4-1.3-三角函数的诱导公式

1.3三角函数的诱导公式复习引入1.任意角α的正弦、余弦、正切是怎样定义的？)0(tancossinxxyxy2.2kπ+α(k∈Z)与α的三角函数之间的关系是什么？)(tan)2tan(cos)2cos(sin)2sin(zkkkk诱导公式一角π+α的终角与角α的终角有什么关系?它们的三角函数之间有什么关系?+αyαxOP1πP2sin(π+α)=－sinαcos(π+α)=－cosαtan(π+α)=tanα诱导公式二(x,y)(-x,-y)角π+α的终角与角α的终角关于原点对称sin(π+α)=-ycos(π+α)=-xtan(π+α)=y/xsinα=ycosα=xtanα=y/x诱导公式二的推导对诱导公式二的理解(1)诱导公式二反映了关于原点对称的同名三角函数值之间的关系,其中角的正、余弦函数值相反,正切函数值相等.(2)角π+α的终角与角α的终角与单位圆的交点关于原点对称,其横坐标互为相反数,纵坐标互为相反数,结合三角函数的定义,就可推出诱导公式二.(3)如果把α看成锐角,则π+α是第三象限的角,因此，诱导公式二可概括为“π+α的三角函数值,等于α的同名三角函数值,前面加上第三象限原函数值的符号”(4)诱导公式二中角α是任意角,其主要作用是它能把第三象限角的三角函数值转化为第一象限角同名的三角函数值.特别的,把(π,3π/2)内的三角函数值转化为锐角的三角函数值.sin(－α)=－sinαcos(－α)=cosαtan(－α)=－tanαyαxOP1(x,y)-αP2(x,-y)诱导公式三诱导公式三的推导角-α的终角与角α的终角有什么关系?它们的三角函数之间有什么关系?角-α的终角与角α的终角关于x轴对称sin(-α)=-ycos(-α)=xtan(-α)=-y/xsinα=ycosα=xtanα=y/x对诱导公式三的理解(1)诱导公式三反映了关于x轴对称的同名三角函数值之间的关系,其中-α与α角的正弦、正切函数值相反,余弦函数值相等.(2)角-α的终角与角α的终角与单位圆的交点关于x轴对称,其横坐标相等,纵坐标互为相反数,结合三角函数的定义,就可推出诱导公式三.(3)如果把α看成锐角,则-α是第四象限的角,因此，诱导公式三可概括为“-α的三角函数值,等于α的同名三角函数值,前面加上第四象限原函数值的符号”(4)诱导公式三中角α是任意角,其主要作用是它能把负角的三角函数值转化为正角同名的三角函数值.(5)结合诱导公式一、三有sin(2π-α)=sin(-α)=-sinα,cos(2π-α)=cos(-α)=cosα,tan(2π-α)=tan(-α)=-tanα.课堂练习将下列三角函数转化为锐角三角函数,并填在题中横线上131cos______;2sin1______;93sin______;4cos706______.54cos9sin1sin5cos7016yαxOP1(x,y)P2(-x,y)απ-αsin(π-α)=sinαcos(π-α)=－cosαtan(π-α)=－tanα诱导公式四诱导公式四的推导角π-α的终角与角α的终角有什么关系?它们的三角函数之间有什么关系?角π-α的终角与角α的终角关于轴对称sin(π-α)=ycos(π-α)=-xtan(π-α)=-y/xsinα=ycosα=xtanα=y/x对诱导公式四的理解(1)诱导公式四反映了关于y轴对称的同名三角函数值之间的关系,其中π-α与α角的正弦函数值相等,余弦、正切函数值相反,.(2)角π-α的终角与角α的终角与单位圆的交点关于y轴对称,其横坐标相反数,纵坐标互为相等,结合三角函数的定义,就可推出诱导公式四.(3)如果把α看成锐角,则π-α是第二象限的角,因此，诱导公式四可概括为“π-α的三角函数值,等于α的同名三角函数值,前面加上第二象限原函数值的符号”(4)诱导公式四可用二、三联合推出sin(π-α)=sin[π+(-α)]=-sin(-α)=sinα,cos(π-α)=cos[π+(-α)]=-cos(-α)=-cosα,tan(π-α)=tan[π+(-α)]=-tan(-α)=-tanα.诱导公式二sin(π+α)=－sinαcos(π+α)=－cosαtan(π+α)=tanαsin(－α)=－sinαcos(－α)=cosαtan(－α)=－tanαsin(π-α)=sinαcos(π-α)=－cosαtan(π-α)=－tanαα+k·2π(k∈Z),－α,π±α的三角函数值,等于α的同名函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.)(tan)2tan(cos)2cos(sin)2sin(zkkkk诱导公式一诱导公式三诱导公式四函数名同，象限定号。例1.利用公式求下列三角函数值:11161cos225;2sin;3sin;4cos2040.3321cos225cos18045cos4521132sinsin4sin3332161633sinsinsin5sin333324cos2040cos2040cos63601201cos1202利用公式一～四把任意角的三角函数转化为锐角函数,一般可按下面步骤进行:任意负角的三角函数任意正角的三角函数用公式三或一锐角三角函数用公式二或四0～2π的角的三角函数用公式一例2化简cos180sin360.sin180cos180cossin=1sincos原式:sin180解sin--180sin180sinsincos180cos180cos180cosyαxOy=xP(x,y)2P(y,x)sincos,2cossin.2诱导公式五诱导公式五的推导角π/2-α的终角与角α的终角有什么关系?它们的三角函数之间有什么关系?角π/2-α的终角与角α的终角关于Y=X对称sin2cos2yxsincosxyaa==对诱导公式五的理解(1)诱导公式五反映了终边关于y=x对称的角的正、余弦函数值之间的关系,其中π/2-α正弦(余弦)函数值,等于角α的余弦(正弦)函数值.(2)设角π/2-α的终角与角α的终角与单位圆的交点分别为P1,P2,则P1,P2关于y=x对称,从而点P1横坐标和纵坐标等于点P2纵坐标和横坐标,结合三角函数的定义,就可推出诱导公式五.(3)公式五中角α是任意角,特别的，当α是锐角时，π/2-α与α互余，利用诱导公式五可以实现正弦函数和余弦函数的相互转化.22sincos,2cossin.2公式六由公式四和公式五得诱导公式六的推导sincos,2cossin.2公式五sincos,2cossin.2公式六2的正弦(余弦)函数值,分别等于α的余弦(正弦)函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.公式一～公式六叫到诱导公式诱导公式一~六小结诱导公式的左边的角统一写成：kπ/2±α,(k∈Z)α+k·2π(k∈Z),－α,π±α,π/2±α当k为奇数时,公式等号右边的三角函数名称与左边的三角函数名称正余互变,(既左边为正弦则右边为余弦,左边为余弦则右边为正弦);当k为偶数时,公式等号右边的三角函数名称与左边一样;公式右边的三角函数之前的符号,则把α当作锐角，kπ/2±α为第几象限,以及左边的三角函数在在该象限的符号即为公式右边的符号.(1)“奇变偶不变，符号看象限”(2)利用诱导公式可以化简任意角的三角函数，基本步骤为:”负化正,大化小,化到锐角就行”例3证明:31sinsin2231sincos;232cossin2.sin2sin2cos32coscos22cos2sin例3证明:31sincos;232cossin2.例4化简11sin2coscoscos22.9cossin3sinsin2sincossincos52=cossinsinsin42原式2sincoscos2=cossinsinsin2sin=tancos