同济六版高数课件(青岛大学)1.8

一、函数的连续性1.函数的增量.,),(,)()(0000的增量称为自变量在点内有定义在设函数xxxxxUxxUxf.)(),()(0的增量相应于称为函数xxfxfxfyxy0xy00xx)(xfyxx0xxyy)(xfy第八节函数的连续性与间断点2.连续的定义,0xxx设),()(0xfxfy,00xxx就是).()(00xfxfy就是定义1设函数y=f(x)在内有定义,)(0xU时，若0x,0y对应的0lim0yx即则称函数y=f(x)在点x0连续，称为f(x)的连续点.0x定义2设函数y=f(x)在内有定义,)(0xU)()(lim00xfxfxx则称函数y=f(x)在点x0连续，例1.0,0,0,0,1sin)(处连续在试证函数xxxxxxf证,01sinlim0xxx,0)0(f又.0)(处连续在函数xxf)(lim0xfx因为3.单侧连续;)(),()0(,],()(0000处左连续在点则称且内有定义在若函数xxfxfxfxaxf例2.0,0,2,0,2)(连续性处的在讨论函数xxxxxxf解)2(lim)(lim00xxfxx2),0(f)2(lim)(lim00xxfxx2),0(f.0)(处不连续在点故函数xxf定理.)()(00处既左连续又右连续在是函数处连续在函数xxfxxf.)(),()0(,),[)(0000处右连续在点则称且内有定义在若函数xxfxfxfbxxf4.连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数.],[)(.],[)(,,,),()(baCxfbaxfbxaxbaxf记为上连续在闭区间函数则称处左连续在右端点处右连续并且在左端点内连续在开区间如果连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.例3.),(sin内连续在区间函数证明xy证),,(x任取xxxysin)sin()2cos(2sin2xxx,1)2cos(xx2sin2xy则,22xx.0,0yx时当.),(sin都是连续的对任意函数xx同理.),(cos都是连续的对任意函数xx二、函数的间断点:)(0条件处连续必须满足的三个在点函数xxf;)()1(0处有定义在点xxf;)(lim)2(0存在xfxx).()(lim)3(00xfxfxx).()(),()(,00或间断点的不连续点为并称点或间断处不连续在点函数则称要有一个不满足如果上述三个条件中只xfxxxf1.跳跃间断点,,)(0右极限处左在点如果xxf例4.0,0,1,0,)(处的连续性在讨论函数xxxxxxf解,0)00(f,1)00(f),00()00(ff.0为函数的跳跃间断点xoxy),0()0(00xfxf但.)(0的跳跃间断点为函数则称点xfx都存在2.可去间断点,)(0处的极限存在在点如果xxf例5,1,11,10,1,2)(xxxxxxf设oxy112xy1xy2),()(lim00xfAxfxx但.)(0的可去间断点为函数则称点xfx.1)(处的连续性在讨论xxf解,1)1(f,2)01(f,2)01(f2)(lim1xfx),1(f.0为函数的可去间断点xoxy112如例5中,,2)1(f令,1,1,10,2)(xxxxxf则跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.特点.0处的左、右极限都存在函数在点x注意可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则可使其变为连续点..1处连续在x3.第二类间断点.)(,)(00的第二类间断点为函数则称点在右极限至少有一个不存处的左、在点如果xfxxxf例6.0,0,,0,1)(处的连续性在讨论函数xxxxxxf解oxy,0)00(f,)00(f.1为函数的第二类间断点x.断点这种情况称为无穷间例7.01sin)(处的连续性在讨论函数xxxf解xy1sin,0处没有定义在x.1sinlim0不存在且xx.0为第二类间断点x.断点这种情况称为的振荡间注意不要以为函数的间断点只是个别的几个点.,,0,,1)(是无理数时当是有理数时当xxxDy狄利克雷函数在定义域R内每一点处都间断,且都是第二类间断点.,,,,)(是无理数时当是有理数时当xxxxxf仅在x=0处连续,其余各点处处间断.★★例8.0,0,,0,cos)(,处连续在函数取何值时当xxxaxxxfa解xxfxxcoslim)(lim00,1)(lim)(lim00xaxfxx,a,)0(af),0()00()00(fff要使,1时故当且仅当a.0)(处连续在函数xxf,1a三、小结1.函数在一点连续必须满足的三个条件;3.间断点的分类与判别;2.区间上的连续函数;第一类间断点:可去型,跳跃型.第二类间断点:无穷型,振荡型.间断点xy1sin可去型第一类间断点跳跃型无穷型振荡型第二类间断点oyx0xoyx0xoyx0x