应用数理统计练习试题及答案

应用数理统计复习题1.设总体~(20,3)XN，有容量分别为10，15的两个独立样本，求它们的样本均值之差的绝对值小于0.3的概率.解：设两样本均值分别为,XY，则1~(0,)2XYN(||0.3)(0.424)(0.424)0.328PXY2.设总体X具有分布律X123p22(1)2(1)其中(01)为未知参数，已知取得了样本值1231,2,1xxx，求的矩估计和最大似然估计.解：（1）矩估计：2222(1)3(1)23EX14(121)33X令EXX，得5ˆ6.（2）最大似然估计：2256()2(1)22L45ln()10120dd得5ˆ63.设某厂产品的重量服从正态分布，但它的数学期望和方差2均未知，抽查10件，测得重量为iX斤10,,2,1i。算出10115.410iiXX1021()3.6iiXX给定检验水平0.05，若该厂产品的平均重量为5.0斤，是否合格？附：t1-0.025(9)=2.2622t1-0.025(10)=2.2281t1-0.05(9)=1.8331t1-0.05(10)=1.8125解:检验统计量为0||/XTSnm-=将已知数据代入，得5.45.01023.6/9t-==1/20.975(1)(9)2.26222tnta--==所以接受0H。4.在单因素方差分析中，因素A有3个水平，每个水平各做4次重复实验，完成下列方差分析表，在显著水平0.05下对因素A是否显著做检验。来源平方和自由度均方和F比因素A4.2误差2.5总和6.7解：来源平方和自由度均方和F比因素A4.222.17.5误差2.590.28总和6.7110.95(2,9)4.26F，7.54.26F，认为因素A是显著的.5.现收集了16组合金钢中的碳含量x及强度y的数据，求得0.125,45.7886,0.3024,25.5218xxxyxyLL，2432.4566yyL.（1）建立y关于x的一元线性回归方程01ˆˆˆyx；（2）y对x回归系数1做显著性检验（0.05）.解：（1）125.5218ˆ84.39750.3024xyxxll01ˆˆ35.2389yx所以，ˆ35.238984.3975yx（2）1ˆ2432.456684.397525.5218278.4805eyyxyQll2278.4805ˆ19.8915214eQnˆ19.89154.461ˆ84.39750.302410.4060ˆ4.46xxtl0.025(14)2.1604t10.40602.1604t拒绝原假设，故回归效果显著.6.某正交试验结果如下列号试验号ABC123结果iy123411112221222113.2516.5412.1118.75（1）找出对结果y影响最大的因素；（2）找出“算一算”的较优生产条件；（指标越大越好）（3）写出第4号实验的数据结构模型。解：列号试验号ABC123结果iy123411112221222113.2516.5412.1118.75ⅠⅡR29.7925.3632.030.8635.2928.651.079.93.35（1）对结果y影响最大的因素是B；（2）“算一算”的较优生产条件为221ABC（3）4号实验的数据结构模型为2214yabc，24~(0,)N7.设总体1122~(,),~(,)ppGNGN，样品为X.已知11.02.25.4，24.25.56.8，12.300.250.470.250.600.040.470.040.60，1231.83.67.0xXxx（1）求线性判别函数()X；（2）对样品X的归属做判别.解：（1）1122.300.250.473.28.8()0.250.600.043.32.80.470.040.601.42.52.63.96.1123()()8.8(2.6)2.8(3.9)2.5(6.1)TXXxxx；（2）()8.8(0.8)2.8(0.3)2.50.95.630X所以，1XG.8.掷一枚硬币100次，观察到正面出现58次，能否认为该枚硬币是均匀的？(0.05)解：设正面出现的概率为p，则0:0.5Hp222(5850)(4250)2.56505020.05(1)(1)3.841r20.052.56(1)，故接受0H，可以认为该枚硬币是均匀的.9.设总体的密度函数(1)(;),,0pxcxxcc，c为已知参数，0为未知参数.当样本容量为n时，求的CR下界.解：ln(;)lnln(1)lnpxcxln(;)1lnlnpxcx222ln(;)1px222ln(;)1()pxIE.所以，的CR下界为21()nIn.10.假设回归直线过原点，即一元线性回归模型为,1,2,,iiiyxin，2~(0,)iN且相互独立，求的最小二乘估计.解：令21()niiiQyx12()0niiiiQyxx解得121ˆniiiniixyx.11.设121,,,,nnXXXX是来自2(,)N的样本，11nniiXXn，2211()1nniniSXXn，试求常数C，使得1ncnXXtcS服从t分布，并指出分布的自由度.解：221~(0,)nnXXNn，222(1)~(1)nnSn故11()/~(1)nnnnXXnttnS，1ncn.12.总体~(,2)XU，其中0是未知参数，1,,nXX是取自该总体的样本，X为样本均值，证明：2ˆ3X是参数的无偏估计和相合估计.证明：2ˆ3EEX＝222332EX所以ˆ是的无偏估计.2444ˆ099912DDXDXnn所以ˆ是的相合估计.13.总体2~(,)XN，2已知，问样本容量n取多大时才能保证的置信水平为95％的置信区间的长度不大于k.解：的置信水平为1的置信区间为1/21/2[,]xuxunn1/22Lukn22221/223.92nukk14.设1,,nXX是来自(,4)N的样本，考虑如下假设检验问题01:2,:5HH若拒绝域为{3}WX，样本容量16n时，求该检验犯两类错误的概率.解：(3|2)PX3211(2)4/16；(3|5)PX351(4)4/1615.为了检验事件A发生的概率是否为p，对A进行了n次观察，结果A发生了An次，若检验水平为，试写出检验统计量和拒绝域.解：设1,0AXA发生，不发生即要检验X的分辨率是否为X10pq根据卡方检验法，检验统计量2222()()()AAAnnpnnnqnnpnpnqnpq拒绝域：22(1)n