质量管理-第六章相关图及回归分析

1第六章相关图及回归分析●相关关系：两个变量没有确定性的关系，但一个变量发生变化，另一个也发生相应的变化；或两个变量在各种干扰因素的综合作用下表现出来的相互关联的关系称为相关关系。●相关分析：研究两个变量之间相互关联的程度称为相关分析。●相关分析方法：﹡相关图是研究相关关系的图表法；﹡回归分析是研究相关关系的数学方法，它帮助人们求得变量之间的内在联系，以便在生产实践中进行预测和控制。§6.1相关图§6.2相关系数§6.3一元线性回归§6.4一元正交多项式回归§6.5多元正交多项式回归2§6.1相关图一概念：为了研究两个变量之间的相关关系，利用两个变量一一对应的数据做出的坐标图称做相关图。通过相关图，可以直观地看出两个变量间的大致关系。二绘制程序例1零件某部位进行化学加工，公差要求是1.5±0.1，现收集不同腐蚀时间下，腐蚀深度的32组数据(如表)(1)●数据要以(xi，yi)的形式成对出现；●一般将原因变量作为x，结果变量作为y；●数据对数n应为30～50对，本例n=32。(2)做坐标系o-xy●本例中，以腐蚀时间作为x，腐蚀深度作为y。●在确定坐标的长度单位时，应使x的散布范围与y的散布范围大致相等，否则(3)依每组数据的数值在坐标系中描点。如有两对数据的点落在同一位置(即同点)，则用“⊙”或“·2”表示，若有三对、四对数据同点，则用“”或“”或“·3”、“·4”表示，依此类推。三相关图的观察与使用四简易相关检定法五应用注意事项··3腐蚀时间——腐蚀深度数据表序号腐蚀时间/s腐蚀深度/mm序号腐蚀时间/s腐蚀深度/mm序号腐蚀时间/s腐蚀深度/mm序号腐蚀时间/s腐蚀深度/mm18851.5998471.50178601.50258741.5128281.46108491.42188641.48268791.5538351.40118501.46198651.54278811.5448351.45128521.52208671.57288821.5358391.43138511.55218691.55298841.5668361.48148561.47228701.52308881.5778421.43158591.45238701.57318911.5588471.47168591.52248731.48328921.584腐蚀时间-腐蚀深度相关图8208308408508608708808909001.401.501.60腐蚀深度/mm腐蚀时间/s5图形X与y关系主要结论X变大时，y也变大。(强正相关)X是质量指标y的重要因素。通过控制因素x，可达到控制结果y的目的；(用于因素分析)代用质量指标x能很好反映真实质量指标y；(用于分析质量指标间的关系)两因素x、y有密切联系。(用于因素间关系分析)X变大时，y变小。(强负相关)X变大时，y大致变大。(弱正相关)X是影响质量指标y的因素，同时还应考虑其它因素；(用于因果关系分析)代用质量指标x能在一定程度上反映真实质量指标y的情况，应当再考察其它代用质量指标；(用于分析质量指标间的关系)两因素x、y有一定联系。(用于因素关系分析)X变大时，y大致变小。(弱负相关)X与y无任何关系。(无关)X不是影响质量指标y的影响因素；(用于因果分析)X不能成为真实质量指标的代用质量指标；(用于分析质量指标间的关系)两因素x、y无关。(用于因素关系分析)yxyxyxyxyx相关图的典型形状及用法表由表可知腐蚀深度与腐蚀时间之间具有线性正相关关系6四简易相关检定法1在相关图上分别画出中值线和，使左右两侧的点数大致相同，上下两部分的点数大致相同。腐蚀深度/mm简易相关检定8208308408508608708808909001.401.501.60(Ⅰ)(Ⅳ)(Ⅲ)(Ⅱ)n1=13n2=3n3=13n4=3x~y~腐蚀时间/sx~x~y~y~72x，y将相关图分为四个区域(Ⅰ)、(Ⅱ)、(Ⅲ)、(Ⅳ)，右上为(Ⅰ)区，按逆时针顺序编号，记录下各区点数和线上点数。本例中n1＝13，n2＝3，n3＝13，n4＝3，线上点数＝03计算：N＝n－线上点数(n为数据对数)n＋＝n1＋n3n-＝n2＋n4本例中N＝32，n＋＝26，n-＝64确定显著性水平α。一般取α＝0.05，也可取0.01，0.10，0.255查符号检验表，据N和给定的α查出对应的点数界限Sα(N)。本例中，N＝32，若α＝0.05，则可查得S0.05(32)＝9；若α＝0.01，则可查得S0.01(32)＝86检定相关性。将n+，n-中的较小值min(n+，n-)与Sα(N)比较，若min(n+，n-)≤Sα(N)则判定在显著性水平α下x，y相关，反之则本例中min(n+,n-)＝6＜S0.05(32)＝9min(n+,n-)＝6＜S0.01(32)＝8因此，腐蚀深度和腐蚀时间在0.05和0.01显著性水平下均判定具有相关关系。可以通过腐蚀时间的变动范围预测腐蚀深度的变动范围；同时，可通过控制腐蚀时间达到控制腐蚀深度的目的。8000011122233344401112223344455568910111213141516171819202122230.010.05n-2α556667778899910101167778899910101111121212242526272829303132333435363738390.010.05n-2α符号检验表9五1数据一定要成对出现，否则无法制作相关图。2数据要先分层，再作相关图，否则会出现判断失误。3明确在什么范围内相关。4对相关图上出现的孤岛要查找原因，加以消除，才能正确估计变量之间的关系。孤岛点的出现常常是由于测量错误，数据记录错误10无关误判为相关yxyxyxyx相关误判为无关○○○○○○○○○○○×××××××××●●●●●●●●●●×××××××××××××××××××××××××××××××××××××●●●●●●●●●●●●●●●●●××××××××××××××××××●●●●●●●●●●●●×××××××××××××××××××××××××××××××××××××11相关图注意事项生产条件试验条件淬火温度/℃4042444648505254565860810830850870890yxyx铜的淬火温度与硬度相关图带有孤岛的相关图12§6.2相关系数一概念及计算1二维随机变量的相关系数相关系数是描述两个随机变量线性相关关系的数字特征，也称标准协方差，以ρ记之。●计算公式：●①若是的线性函数，即＝α＋β，则有｜ρ｜＝1;②｜ρ｜≤1③若无线性相关关系，则ρ＝0。但ρ＝0并不表示2样本数据相关系数r二几何意义三相关系数的近似计算四相关系数的显著性检验YXYXYXYXXYYXEDDEYEXEYX,YX,YX,YX,XYYX13●计算公式运用随机变量x,y的n对样本数据可计算ρ相关系数的估计值，并以r记之●特点①②无名数③与Lxy同号●例2niniiiiixyyxnyxyyxxL11))((niniiiniiiyxnyx111))((1niinininiiiixxxnxxnxxxL121112222)(1)(niinininiiiiyyynyynyyyL121112222)(1)(Lxy称x、y偏差积之和Lxx称x偏差平方和Lyy称y偏差平方和yyxxxyLLLr1r14ixiyixi2yi2xiyi18851.597832252.52811407.1528281.466855842.13161208.88318911.557938812.40251381.05328921.587956642.49641409.36∑2757948.22377900972.685641564………………例2计算例1所给数据的相关系数解：首先作相关系数计算表如下：84375.8613227579x50625.1322.48y788.008435.022.1022013125.2313125.2350625.184375.861324156408435.050625.1326856.7222.1022084375.8613223779009112222212ryxnyxLynyLxnxLniiixyniiyyniixx15二几何意义与随机变量x，y的相关系数ρ一样，由样本数据计算出的相关系数r也具备如下特征：｜r｜≤1｜r｜越趋近于1，线性相关的程度越强。r越趋于+1，正相关程度越强，r越趋于-1，负｜r｜越趋近于0，说明两变量无关或具有非线性关系r=1r=0.6r=0r=0r=-0.9r=-1××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××三相关系数近似计算)()21(ˆNnNnrcossin如对例1)3210()213226sin(sinr833.025.560sin160.050.01123456789101112131415160.996920.950000.87830.81140.75450.70670.66640.63190.60210.57600.55290.53240.51390.49730.48210.46830.999870.990000.958730.917200.87450.83430.79770.76460.73480.70790.68350.66140.64110.62260.60550.5897n-2α0.050.0117181920253035404550607080901000.45550.44380.43290.42270.38090.34940.32460.30440.28750.27320.25000.23190.21720.20500.19460.57510.56140.54870.53680.48690.44870.41820.39320.37210.35410.32480.30170.28300.26730.2540n-2α相关系数r=0的临界值r(α，n-2）表17§6.3一元线性回归回归分析是研究两个随机变量相关关系的数学工具。应用它可找出描述变量之间相关关系的数学表达式，从而由一个变量的取值去估计另一个变量的取值，达到预测和控制的目的。一元线性回归是研究两个随机变量X、Y线性相关关系的方法。其目的是通过一系列的样本数据(x1，y1)(x2，y2)…(xn,yn)求得X、Y内在规律的数学表达上式称为X、Y的线性回归方程，简称回归方程。其中a,b是两个未知参数，称为回归系数。回归方程在相关图中一回归方程的建立二回归直线的近似求法三回归方程的显著性检验四回归直线的应用——预测与控制bxayˆ18一回归方程的建立●最小二乘法：对于相关图，我们要寻找的回归直线应该是和所有观测点拟合的最好的直线。而拟合最好的标准是残差平方和最小。所谓残差，是指当xi给定时，由回归直线估计出的与实际数据yi的差值。若以Q●可见，残差平方和Q反映了全部观测点(样本数据)对回归直线的偏离程度。显然，Q越小的回归方程，越能较好地反映变量X、Y之间的关系。这种求得回归方程的方法称为最小二乘法●回归系数a，b的计算公式●例3yx（xi，）（xi，yi）bxayˆniniiiiibxayyyQ1122)()ˆ(iyˆiyˆxi19采用最小二乘法得到以下回归系数a、b的计算公式为xxxyLLb2112211)())((xnxxxLyxnyxyyxxLniniiixxniniiiiixy例3计算求出例1中腐蚀深度y对腐蚀时间x的回归方程84375.8613227579x50625.1322.48y44152.084375.861