高等代数第六章-线性空间小结-太原理工大学

线性空间是线性代数的中心内容，是几何空间的抽象和推广，线性空间的概念具体展示了代数理论的抽象性和应用的广泛性.线性空间小结上页下页返回一、线性空间1.线性空间的概念2.线性空间的性质(1)线性空间的零元，每个元素的负元都是唯一的；(2)(–1)α=-α，kα=0＝k=0，或α=0上页下页返回二、基、维数和坐标1．基本概念：线性表示（组合）；向量组等价；线性相关(无关)；基、维数和坐标；过渡矩阵.2．基本结论(1)线性相关性的有关结论.(2)在n维线性空间V中，任意n个线性无关的向量都作成V的一个基；任意个m(mn)线性无关的向量都可扩充为V的一个基；任意s(sn)个向量都是线性相关的.上页下页返回(3)若在线性空间V中有n个线性无关的向量α1,α2,…,αn，且V中任意向量都可由它线性表示，则V是n维的，而α1,α2,…,αn就是V的一个基.(4)设α1,α2,…,αn和β1,β2,…,βn是n维线性空间V的两个基，A是由基α1,α2,…,αn到基β1,β2,…,βn的过渡矩阵，(x1,x2,…,xn)和(y1,y2,…,yn)分别是向量α在这两个基下的坐标，则A是可逆的，且坐标关系为.nnyyyAxxx2121上页下页返回三、线性子空间及其形式1．基本概念：子空间；生成子空间；子空间的和与直和.2．基本结论：(1)线性空间V的非空子集合W作成V的子空间＝W对于V的两种运算封闭；(2)线性空间V的两个子空间的交与和仍为子空间.(3)(维数公式)若V1,V2是线性空间V的两个有限维子空间，则)dim()dim()dim()dim(212121VVVVVV上页下页返回(4)dimL(α1,α2,…,αn)=rank(α1,α2,…,αn)L(α1,α2,…,αn)=L(β1,β2,…,βm)＝向量组α1,α2,…,αn与β1,β2,…,βm等价.(5)设U是线性空间V的一个子空间，则存在一个子空间W，使得V=U⊕W，此时称W为U的一个余子空间.上页下页返回(6)设V1,V2,…,Vs是线性空间V的子空间，下面这些条件等价：①W=∑Vi是直和；②零向量的表示法唯一；④dim(W)=∑dim(Vi).③;),,2,1(0siVVijji上页下页返回3.同构映射的基本性质：(1)线性空间的同构映射保持零元，负元，线性组合，线性相关性；(2)同构映射把子空间映成子空间；(3)线性空间的同构关系具有反身性，对称性和传递性；(4)数域P上两个有限维线性空间同构＝它们有相同的维数，因而，数域P上的每一个n维线性空间都与n元数组所成的线性空间Pn同构.上页下页返回本章的重点是线性空间的概念，子空间的和，基与维数；难点是线性空间定义的抽象性，线性相关和子空间的直和.本章的基本题型主要有：线性空间，子空间的判定或证明，线性相关与无关的判定或证明，基与维数的确定，过渡矩阵和坐标的求法，直和及同构的判定或证明.上页下页返回本章的基本内容及其内在联系可用下图来说明：线性空间线性相关性子空间极大无关组子空间的交与和基、维数和坐标子空间的直和同构余子空间