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中国民航大学航空工程学院复变函数与积分变换主讲:卿光辉助教:但敏作业:每周交作业一次答疑:每周一次课堂教学:40学时(练习册)(北教3#303室)一、教学及考核方式主要参考书(略)考试方式:闭卷考试成绩:作业占20%,考试占80%复变函数与积分变换课程是工科各专业必修的重要基础理论课,是工程数学的主要课程之一。复变函数与积分变换在科学研究、工程技术等各行各业中有着广泛的应用。其中,带“*”号的内容本课堂不需要掌握。积分变换的内容包括:傅里叶变换和拉普拉斯变换。复变函数的内容包括:复数与复变函数、解析函数、复变函数的积分、解析函数的级数表示、留数及其应用、共形映射以及解析函数在平面场的应用。本课程由复变函数与积分变换两个部分组成。二、教学内容二、教学内容本课程由复变函数与积分变换两个部分组成。二、教学内容本课程由复变函数与积分变换两个部分组成。二、教学内容本课程由复变函数与积分变换两个部分组成。二、教学内容本课程由复变函数与积分变换两个部分组成。二、教学内容第一章复数与复变函数复数领域的推广和发展。复变函数理论中的许多概念、理论和方法是实变函数在复数的产生最早可以追溯到十六世纪中期。但直到十八世纪末期,经过了卡尔丹、笛卡尔、欧拉以及高斯等许多人的长期努力,复数的地位才被确立下来。复变函数理论产生于十八世纪,在十九世纪得到了全面为这门学科的发展作了大量奠基工作的发展。为复变函数理论的创建做了早期工作的是欧拉、达朗贝尔、拉普拉斯等。则是柯西、黎曼和维尔斯特拉斯等。(虚数史话)第一章复数与复变函数§1.2复数的几种表示§1.1复数§1.3平面点集的一般概念§1.5复变函数§1.4无穷大与复球面§1.1复数一、复数及其运算二、共轭复数设与是两个复数,111yixz222yixz如果,21xx,21yy则称与相等。1z2z它们之间只有相等与不相等的关系。一、复数及其运算1.复数的基本概念相等0yixz当且仅当.0yx特别地,复数与实数不同,两个复数(虚部不为零)不能比较大小,一、复数及其运算1.复数的基本概念定义(1)设x和y是任意两个实数,yixz(或者)iyxz的数称为复数。(2)x和y分别称为复数z的实部与虚部,并分别表示为:,Rezx.Imzy当y0时,因此,实数可以看作是复数的特殊情形。(3)当x0时,yiyiz0称为纯虚数;xixz0就是实数。将形如.1i其中i称为虚数单位,即P1一、复数及其运算2.复数的四则运算设与是两个复数,111yixz222yixz(1)复数的加减法;)(212121yyixxzz加法.)(212121yyixxzz减法(2)复数的乘除法;)()(1221212121yxyxiyyxxzz乘法,21zzz.21zzz如果存在复数z,使得则除法P2一、复数及其运算2.复数的四则运算(3)运算法则交换律;1221zzzz.1221zzzz结合律;)()(321321zzzzzz.)()(321321zzzzzz分配律.)(3121321zzzzzzz二、共轭复数1.共轭复数的定义设是一个复数,定义yixz称为z的共轭复数,yixz记作。z共轭复数有许多用途。注比如21zzz)()()()(22222211yixyixyixyix2221zzzzP2二、共轭复数2.共轭复数的性质其中,“”可以是;,,,,2121zzzz(2);ImRe2222][][yxzzzz(3);zz(1)性质P3解(1)iizz435521)43()43()43()55(iiii25535i.5157i.5157i21zz21zz(2)二、共轭复数证明2121zzzz2121zzzz2121zzzz.)(Re221zzP4例1.1二、共轭复数卡尔丹称它们为“虚构的量”或“诡辩的量”。他还把它们与负数统称为“虚伪数”;把正数称为“证实数”。附:历史知识——虚数史话两数的和是10,积是40,求这两数.卡尔丹发现只要把10分成和即可。1551551545年,卡尔丹第一个认真地讨论了虚数,他在《大术》中求解这样的问题:卡尔丹的这种处理,遭到了当时的代数学权威韦达和他的学生哈里奥特的责难。附:历史知识——虚数史话整个十七世纪,很少有人理睬这种“虚构的量”。仅有极少数的数学家对其存在性问题争论不休。意义下的“复数”的名称。1632年,笛卡尔在《几何学》中首先把这种“虚构的量”改称为“虚数”,与“实数”相对应。同时,还给出了如今附:历史知识——虚数史话到了十八世纪,虚数才开始被关注起来。,sin1cos)sin1(cosnθnθθθn1722年,法国数学家德摩佛给出德摩佛定理:其中n是大于零的整数。,sin1cos1exxx1748年,欧拉给出了著名的公式:并证明了德摩佛定理对n是实数时也成立。.11777年,欧拉在递交给彼德堡科学院的论文《微分公式》中首次使用i来表示附:历史知识——虚数史话十八世纪末,高斯的出现使得复数的地位被确立下来。1797年,当时年仅20岁的高斯在他的博士论文中证明了代数基本定理。高斯在证明中巧妙地给出了复数的几何表示,使得人们直观地理解了复数的真实意义。十九世纪中叶以后,复变函数论开始形成,并逐渐发展成为一个庞大的数学分支。而且n次多项式恰好有n个根。任何多项式在复数域里必有根,即附:人物介绍——高斯许多数学学科的开创者和奠基人。几乎对数学的所有领域都做出了重大贡献。享有数学王子的美誉。德国数学家、(1777~1855)高斯JohannCarlFriedrichGauss物理学家、天文学家高斯去世后,哥廷根大学对高斯的文稿进行了整理,历时67年,出版了《高斯全集》,共12卷。附:人物介绍——高斯在哥廷根大学的广场上,矗立着一座用白色大理石砌成的纪念碑,它的底座砌成正十七边形,纪念碑上是高斯的青铜雕像。18岁(返回)第一章复数与复变函数§1.2复数的几种表示§1.1复数§1.3平面点集的一般概念§1.5复变函数§1.4无穷大与复球面§1.2复数的几种表示一、复数的几何表示二、复数的三角表示和指数表示三、复数的乘幂与方根四、几个关系一、复数的几何表示1.复平面此时,x轴称为实轴,y轴称为虚轴。在平面上建立一个直角坐标系,定义用坐标为的点来),(yx,yixz表示复数从而将全体复数和平面上的全部点一一对应起来,的平面称为复平面或者这样表示复数zz平面。P4引进复平面后,复数z与点z以及向量z视为同一个概念。yixz在复平面上,从原点到点所引的向量与该复数z也构成一一一、复数的几何表示1.复平面y实轴虚轴iyxzxO对应关系(复数零对应零向量)。比如,复数的加减法等同于向量的平行四边形法则。将复数和向量对应之后,除了利用实部与虚部来给定一个复数以外,一、复数的几何表示2.复数的模与辐角yiyxzxOxyr定义设z的是一个不为0的复数,.||z(1)向量z的长度r称为复数z的模,记为还可以借助向量的长度与方向来给定一个复数。(2)向量z的“方向角”称为复数z的辐角,记为.Argz(?)P5一、复数的几何表示2.复数的模与辐角zxy两点说明(1)辐角是多值的,(2)辐角的符号约定为:逆时针取正号,顺时针取负号。相互之间可相差,2πk其中k为整数。例如对于复数,1iz则有,2||z,243Argπkπz.,2,1,0k复数0的模为0,辐角无意义。注由此就有如下关系:一、复数的几何表示2.复数的模与辐角主辐角对于给定的复数设有满足:,0zzArg且,ππ则称为复数z的主辐角,记作.argz,2argArgπkzz.,2,1,0k)(31arctanargziiiiz)1(212解.3iππ,10)1()3(||22z31arctanπ.πxy31(1)已知实部与虚部,求模与辐角。一、复数的几何表示3.相互转换关系yiyxzxOxy||zzarg;22yx|z|P7(1)已知实部与虚部,求模与辐角。一、复数的几何表示3.相互转换关系(2)已知模与辐角,求实部与虚部。)cos(arg||zzx)sin(arg||zzy;)Argcos(||zz.)Argsin(||zz由此引出复数的三角表示式。yiyxzxOxy||zzarg二、复数的三角表示和指数表示1.复数的三角表示称为复数z的三角表示式。)sin(cosirzyiyxzxOxyr如图,有sincosrirz.)sin(cosir定义设复数r是z的模,是z的任意一个辐角,,0z,cosrx,sinry由P9二、复数的三角表示和指数表示2.复数的指数表示)sin(cosirz.eir利用欧拉公式得sincoseii称为复数z的指数表示式。irze定义设复数r是z的模,是z的任意一个辐角,,0z但习惯上一般取为主辐角。在复数的三角表示式与指数表示式中,辐角不是唯一的,注补(欧拉公式),4412||z解)(122arctanargzxy212π31arctanππ6ππ.65π.)65sin65cos(4πiπz复数的三角表示式为z.465eiπz复数的指数表示式为z二、复数的三角表示和指数表示3.利用指数表示进行复数的乘除法运算.)(2121eθθirr,1e11irz,2e22irz设乘法21ee2121θiθirrzz21zz21z2zxy1,||||||2121zzzz即.ArgArg)(Arg2121zzzz(在集合意义下?)两个复数乘积的幅角等于它们幅角的和。模等于它们的模的乘积;P10补、(集合意义)二、复数的三角表示和指数表示3.利用指数表示进行复数的乘除法运算,1e11irz,2e22irz.)(2121eθθirr设除法21ee2121θiθirrzz1z2z221zz1z2zxy1.ArgArgArg2121)(zzzz(在集合意义下)两个复数的商的幅角等于它们幅角的差。模等于它们的模的商;,||||2121zzzz即iππ)42(e21iπ43e21.2121i.1ii例计算,2eiπii1iπ4e2解由有iiπ42ee2πii1附一些“简单”复数的指数形式,1eiπ,12eiπ,12eiπk,2eiiπ,2eiiπ.1ii1i1i1i1i1iππ)653(e4iπ2e4.4iiππ)653(eiπ67e67sin67cosπiπ.2123ii31,23eiπi3iπ65e2解由有iπiπ653ee22)3()31(iiiiπ653ee22πii331P11例1.5修改复数z的乘幂,设z是给定的复数,n为正整数,n个z相乘的积称为定义三、复数的乘幂与方根1.复数的乘幂,eirz.)(eeninninrrz设则法则利用复数的指数表示式可以很快得到乘幂法则。,nz.个nnzzzz即记为P12三、复数的乘幂与方根1.复数的乘幂.)sin(cos)]sin(cos[ninrirznnn.sincos)sin(cosnininninninrrze)e(由以及复数的三角表示式可得在上式中令r=1,则得到棣莫弗(DeMoivre)公式:棣莫弗(DeMoivre)公式进一步易得到正弦与余弦函数的n倍角公式。23)(eiπ.32eiπ例22321i33)(eiπ32321
本文标题:复数函数
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