2.2.1综合法和分析法3(李用)

2.2.1综合法和分析法[例1]已知a，b，c0.求证：a3＋b3＋c3≥13(a2＋b2＋c2)(a＋b＋c)．[分析]不等式中的a，b，c为对称的，所以从基本的不等式定理入手，先考虑两个正数的均值定理，再根据不等式的性质推导出证明的结论．[证明]∵a2＋b2≥2ab，a0，b0，∴(a2＋b2)(a＋b)≥2ab(a＋b)．∴a3＋b3＋a2b＋ab2≥2ab(a＋b)＝2a2b＋2ab2.∴a3＋b3≥a2b＋ab2.同理：b3＋c3≥b2c＋bc2，a3＋c3≥a2c＋ac2.将三式相加得：2(a3＋b3＋c3)≥a2b＋ab2＋bc2＋b2c＋a2c＋ac2，∴3(a3＋b3＋c3)≥(a3＋a2b＋a2c)＋(b3＋b2a＋b2c)＋(c3＋c2a＋c2b)＝(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2)．∴a3＋b3＋c3≥13(a2＋b2＋c2)(a＋b＋c)．[点评]1.综合法证明问题的步骤第一步：分析条件，选择方向．仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法．第二步：转化条件，组织过程．把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化．组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路．第三步：适当调整，回顾反思．解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结解题方法的选取．[例2]已知a0，b0，求证：ab＋ba≥a＋b.[分析]要证明上述不等式成立，暂无条件可用，这时可以从所要证明的结论出发，逐步反推，寻找使当前命题成立的充分条件，即用分析法证明．[证明]∵a0，b0，要证ab＋ba≥a＋b成立，只需证ab＋ba2≥(a＋b)2成立，即证a2b＋b2a＋2ab≥a＋b＋2ab成立．即证a3＋b3ab≥a＋b.也就是证(a＋b)(a2－ab＋b2)≥ab(a＋b)成立．即a2－2ab＋b2≥0，也就是证(a－b)2≥0成立．∵(a－b)2≥0恒成立，∴ab＋ba≥a＋b.[点评](1)分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论；(2)分析法证明不等式的思维是从要证的不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式；(3)用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好“要证”、“只需证”、“即证”等词语．返回[研一题][例3]已知a、b、c是不全相等的正数，且0x1.证明：logxa＋b2＋logxb＋c2＋logxa＋c2logxa＋logxb＋logxc.[自主解答]要证logxa＋b2＋logxb＋c2＋logxa＋c2logxa＋logxb＋logxc，只需要证明logx(a＋b2·b＋c2·a＋c2)logx(abc)，由0x1知，只需证明a＋b2·b＋c2·a＋c2abc.返回由基本不等式得a＋b2≥ab0，b＋c2≥bc0，a＋c2≥ac0，又∵a，b，c是不全相等的正数，∴a＋b2·b＋c2·a＋c2a2b2c2＝abc.即a＋b2·b＋c2·a＋c2abc成立．∴logxa＋b2＋logxb＋c2＋logxa＋c2logxa＋logxb＋logxc成立．[例4]△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，A、B、C的对边分别为a、b、c.[分析]条件与结论跨越较大，不易下手，可考虑用分析法证明；由于分析法是执果索因，逐步寻找成立的充分条件，因此分析法的倒退过程就是综合法．求证：1a＋b＋1b＋c＝3a＋b＋c.只需证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，需证c2＋a2＝ac＋b2，又△ABC三内角A、B、C成等差数列，故B＝60°，[证明]分析法：要证1a＋b＋1b＋c＝3a＋b＋c，即证a＋b＋ca＋b＋a＋b＋cb＋c＝3，也就是ca＋b＋ab＋c＝1，由余弦定理，有b2＝c2＋a2－2accos60°，即b2＝c2＋a2－ac，故c2＋a2＝ac＋b2得证．综合法：证明：∵△ABC三内角A、B、C成等差数列，∴B＝60°.由余弦定理，有b2＝c2＋a2－2cacos60°，得c2＋a2＝ac＋b2，等式两边同时加上ab＋bc得c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，等式两边同除以(a＋b)(b＋c)得，ca＋b＋ab＋c＝1，∴ca＋b＋1＋ab＋c＋1＝3，即1a＋b＋1b＋c＝3a＋b＋c.[点评]综合法和分析法各有优缺点．从寻找解题思路来看，综合法由因导果，往往枝节横生，不容易奏效；分析法执果索因，常常根底渐近，有希望成功，就表达证明过程而论，综合法形式简洁，条理清晰；分析法叙述繁琐，文辞见长．也就是说分析法利于思考，综合法宜于表述．因此，在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来运用，先以分析法为主导求解题思路，再用综合法有条理地表述解答或证明过程．[例5]如果ab，ab＝1，求证：a2＋b2≥22(a－b)，并指明何时取“＝”号．[分析]先用分析法将所证不等式转化为易证的等价式子，再用综合法进行证明．[解析]因为ab，a－b0，所以欲证a2＋b2≥22(a－b)．只需证a2＋b2a－b≥22.因为ab，所以a－b0，又知ab＝1，所以a2＋b2a－b＝a2＋b2－2ab＋2aba－b＝(a－b)2＋2a－b＝(a－b)＋2a－b≥2(a－b)·2a－b＝22.所以a2＋b2a－b≥22，即a2＋b2≥22(a－b)．当且仅当a－b＝2a－b，即a－b＝2时，取等号．(2)在解决问题时，我们经常把综合法和分析法结合起来使用，根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P，若由P可以推出Q成立，就可以证明结论成立．一般情况下，用分析法寻找思路，用综合法完成证明．[点评](1)本题证明的前半部分用分析法，要证结论成立，只需证a2＋b2a－b≥22，后半部分用综合法证明了a2＋b2a－b≥22.一、选择题1．用分析法证不等式：欲证①AB，只需证②CD，这里①是②的()A．既不充分也不必要条件B．充要条件C．充分条件D．必要条件[答案]D[解析]∵②⇒①，但①不一定推出②.故应选D.课堂练习[答案]B[解析]因为a2＋b2≥2ab，a2＋c2≥2ac，b2＋c2≥2bc，将三式相加得2(a2＋b2＋c2)≥2ab＋2ac＋2bc，即a2＋b2＋c2≥1.又因为(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc，所以(a＋b＋c)2≥1＋2×1＝3，B成立．故应选B.2．若a，b，c∈R，且ab＋bc＋ac＝1，则下列不等式成立的是()A．a2＋b2＋c2≥2B．(a＋b＋c)2≥3C.1a＋1b＋1c≥23D．abc(a＋b＋c)≤13课堂练习3．设a，b，c∈R，且a，b，c不全相等，则不等式a3＋b3＋c3≥3abc成立的一个充要条件是()A．a，b，c全为正数B．a，b，c全为非负实数C．a＋b＋c≥0D．a＋b＋c0[答案]C[解析]a3＋b3＋c3－3abc＝(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2－ab－ac－bc)＝(a＋b＋c)[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]而a，b，c不全相等⇔(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)20，故a3＋b3＋c3≥3abc⇔a＋b＋c≥0.故应选C.课堂练习二、填空题4．若0a1,0b1，且a≠b，则在a＋b,2ab，a2＋b2和2ab中最大的是________．[答案]a＋b[解析]已知a＋b＞2ab，a2＋b22ab，又a＋b－(a2＋b2)＝a(1－a)＋b(1－b)＞0.也可用特值法取a＝12，b＝18，则a＋b＝58，2ab＝12，a2＋b2＝1764，2ab＝18，显见a＋b最大，故只能是填a＋b.课堂练习[答案]acb5．设a＝2，b＝7－3，c＝6－2，则a、b、c的大小关系为________．[解析]∵a、b、c都是正数，又a2－c2＝2－(8－43)＝43－6＝48－36＞0，∴a＞c.∵cb＝6－27－3＝7＋36＋2＞1，∴c＞b.课堂练习三、解答题6．已知a，b，c为不全相等的正实数，求证：b＋c－aa＋c＋a－bb＋a＋b－cc3.[证明]左边＝ba＋ab＋cb＋bc＋ac＋ca－3，因a，b，c为不全相等的正实数，所以ba＋ab≥2，cb＋bc≥2，ac＋ca≥2，且上述三式的等号不能同时成立．所以ba＋ab＋cb＋bc＋ac＋ca－36－3＝3.即b＋c－aa＋c＋a－bb＋a＋b－cc3.课堂练习