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一.L’Hospital法则(洛必达法则)法则1设函数fx()和gx()在点a的某个去心邻域oUa,d()内有定义,且满足:(1)limx®afx()=0及limx®agx()=0;(2)fx()和gx()在oUa,d()内可导,且¢gx()¹0;(3)limx®a¢fx()¢gx()=A(A为常数,或为∞)则有limxafxgx=limx®a¢fx()¢gx()=A。法则2设函数fx()和gx()在点a的某个去心邻域oUa,d()内有定义,且满足:(1)limxagx;(2)fx()和gx()在oUa,d()内可导,且¢gx()¹0;(3)limx®a¢fx()¢gx()=A(A为常数,或为∞)则有limxafxgx=limx®a¢fx()¢gx()=A利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一,在解题中应注意:1.将上面公式中的x→a,x→∞换成x→+∞,x→-∞,x®+a,x®-a洛必达法则也成立。2.洛必达法则可处理00,,0,1,0,00,型。3.在着手求极限以前,首先要检查是否满足00,,0,1,0,00,型定式,否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时,就不能用洛必达法则,这时称洛必达法则不适用,应从另外途径求极限。4.若条件符合,洛必达法则可连续多次使用,直到求出极限为止。0型:limx®0+xlnx=limx®0+lnx1x(化为型)=limx®0+1x1lnx(化为00型,但无法求解)¥-¥型:limx®p2tanx-secx()=limx®p2sinx-1cosx=limx®p2cosx-sinx=0(通分后化为00型)1型:limx®0cosx()1x2=elimx®0lncosxx2=elimx®0-sinxcosx×2x=e-12(化为00型)0型:limx®+¥xsin1x=elimx®+¥sin1x×lnx=elimx®+¥lnxx=elimx®+¥1x=1(化为型)00型:limx®0+xsinx=elimx®0+lnxcscxelimx®0+1x-cscxcotx()=elimx®0+-sinxx×tanx=1(化为型)变形举例:limx®-¥x1+x2=limx®-¥-11+1x2=-1(不变形求导无法求出)二.高考题处理1.(2010年全国新课标理)设函数2()1xfxexax。(1)若0a,求()fx的单调区间;(2)若当0x时()0fx,求a的取值范围原解:(1)0a时,()1xfxex,'()1xfxe.当(,0)x时,'()0fx;当(0,)x时,'()0fx.故()fx在(,0)单调减,在(0,)单调增(II)'()12xfxeax由(I)知1xex,当且仅当0x时等号成立.故'()2(12)fxxaxax,从而当120a,即12a时,'()0(0)fxx,而(0)0f,于是当0x时,()0fx.由1(0)xexx可得1(0)xexx.从而当12a时,'()12(1)(1)(2)xxxxxfxeaeeeea,故当(0,ln2)xa时,'()0fx,而(0)0f,于是当(0,ln2)xa时,()0fx.综合得a的取值范围为1,2原解在处理第(II)时较难想到,现利用洛必达法则处理如下:另解:(II)当0x时,()0fx,对任意实数a,均在()0fx;当0x时,()0fx等价于21xxaex令21xxgxex(x0),则322()xxxxgxeex,令220xxhxxxxee,则1xxhxxee,0xhxxe,知hx在0,上为增函数,00hxh;知hx在0,上为增函数,00hxh;0gx,g(x)在0,上为增函数。由洛必达法则知,200011222limlimlimxxxxxxxxeeex,故12a综上,知a的取值范围为1,2。
本文标题:洛必达法则详述与其在高考中的实际运用
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