哈尔滨工程大学硕士研究生随机过程测试第1页

班级：学号：姓名：装订线第1页共14页第2页共14页哈尔滨工程大学2013级硕士研究生随机过程第一次测试1、已知随机过程)(tX，x是任一实数，定义另一个随机过程xtXxtXtY)(,0)(,1)(试求：)(tY的均值和自相关函数。解：均值为：()1{()1}0{()0}EYtPYtPYt{()}PXtx(;)XFxt相关函数为：1212(,)()()YRttEYtYt1221{()1,()1}0{()0,()0}PYtYtPYtYt1122{(),()}PXtxXtx1212(,;,)XFxxtt2、随机过程00()cossinXtAtBt，其中0为常数，A、B均为高斯变量，并且[][]0EAEB，222[][]EAEB。（1）若A、B相互独立，判断该过程是否宽平稳、是否严平稳。（2）若A、B相互独立，求(0)X和(1)X的一维概率密度。（3）若A、B正交，判断该过程是否宽平稳、是否严平稳。解：（1）]sin[]cos[]sincos[)]([tBEtAEtBtAEtXEtBEtAEsin][cos][0（0][][BEAE）)]sincos)(sincos[()]()([),(22112121tBtAtBtAEtXtXEttRX]sinsincossinsincoscoscos[2122121212ttBttABttABttAE2121221212[]coscos[][]cossin[][]sincos[]sinsinEAttEAEBttEAEBttEBtt212212sinsin][coscos][ttBEttAE（22])[(][][XEXDXE）)(cos122tt)(cos2（12tt）22[()](0)XXDXtRm可见()Xt是宽平稳随机过程。在任意时刻对()Xt采样得到高斯变量A、B的线性组合，可见()Xt为一高斯随机过程.所以它也是严平稳的。（2）一维概率密度：221(,0)(,1)exp22XXxfxfx（3）A、B为高斯随机变量，所以不相关与统计独立等价，又因为这两个变量均值为零，所以不相关与正交等价。因此在A、B正交的情况与A、B统计独立情况等价，()Xt为宽平稳过程，也为严平稳过程3、)(tX和)(tY联合平稳过程定义了一个随机过程ttYttXtV00sin)(cos)()(（1）)(tX和)(tY数学期望和相关函数满足那些条件可使)(tV是平稳过程。（2）在（1）结果的基础上用)(tX和)(tY的功率谱密度和互谱密度表示的)(tV的功率谱密度。（3）如果)(tX和)(tY不相关，那么)(tV的功率谱密度是什么？解：（1）00[()][()cos()sin]EVtEXttYtt00[()]cos[()]sinEXttEYtt欲使)]([tVE与时间无关，不随时间函数t0cos、0sint变化，)(tX和)(tY的数学期望必须是0)]([,0)]([tYEtXE；)(sinsin)()(cossin)()(sincos)()(coscos)()(sinsin)]()([)(cossin)]()([)(sincos)]()([)(coscos)]()([)}](sin)()(cos)(}{sin)(cos)([{)]()([),(00000000000000000000ttRttRttRttRtttYtYEtttXtYEtttYtXEtttXtXEttYttXttYttXEtVtVEttRYYXXYXV在)()(),()(YXXYYXRRRR时，上式与时间起点无关：00sin)(cos)()(XYXVRRR因此，当0)]([,0)]([tYEtXE，)()(),()(YXXYYXRRRR时，)(tV是平稳过程。（2）对00sin)(cos)()(XYXVRRR两边同时作傅氏变换：000000()()[()cos()sin]11[()()][()()]22jjVVXXYXXXYXYSRedRRedSSSSj（3）)(tX和)(tY不相关，)(tV的互功率谱密度为零。)]()([21)(00XXVSSS装订线第3页共14页第4页共14页4、0()cos()()XtAtNt，0、A为常数，在(0,2)上均匀分布，0()2NSN，、()Nt统计独立，()Xt通过传输函数为1()1HjRC的积分电路，试求输出信号tY的均值、自相关函数和功率谱密度函数.解：计算()Xt的均值与自相关函数，0()cos()()0EXtEAtNt000(,)cos()()cos()()XRttEAtNtAtNt=200cos22NA2000()()()22XNAS可见)(tX是广义平稳的,因此()(0)0XEYtmH2()()()YXSSHj20002200022222201()()221()()()2(1)2(1)NARCNARCRC1()()2jYYRSed=2002220cos2(1)4RCNAeRCRC哈尔滨工程大学2013级硕士研究生随机过程第二次测试1、设窄带平稳随机过程00()=()cos-()sinXtattbtt的功率谱密度()XS满足：0000()=02(+)=()0XXXSSS求()Xt的自相关函数及自相关函数的预包络（等效带通形式）和包络。解：()=[()()]XREXtXt00000000=()coscos(+)()cossin(+)()sincos(+)+()sinsin(+)aabbabRttRttRttRtt因为()=()abRR，()=()abbaRR所以00()=()cos+()sinXabaRRR根据题意知()XS在频带内关于中心频率0对称，所以()=0baR，0()=()cosXaRR自相关函数的预包络0()=()jXaRRe；包络为()aR2、某接收机如图所示，乘法器和低通滤波器构成同步检波器。其中窄带中放1()Hf的幅频特性表示为，1HfK（00,fffff）。低通滤波器2()Hf的幅频特性表示为21Hf（ff）。输入信号中0[1()]cosiStAmxtt(其中A、0为常数)，()Xt是包含有用信息的遍历随机信号，其等效噪声带宽小于f。iNt是功率谱密度为20N的白噪声。求同步检波器输出信噪比以及与输入信噪比之间的关系。1()Hf2()Hf()()StNt()()iiStNt02cost()Yt解：窄带中放的输出信号为0[1()]cosStKAmxtt输出噪声为窄带高斯噪声00()=()cos()sinNtattbtt经过乘法器后输出记为Zt，则