1.2.3导数的四则运算法则(二)

1.2.3（二）1.2.3导数的四则运算法则(二)【学习要求】1．了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则．2．能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导(仅限于形如f(ax＋b)的导数)．【学法指导】复合函数的求导将复杂的问题简单化，体现了转化思想；学习中要通过中间变量的引入理解函数的复合过程．本课时栏目开关填一填研一研练一练1.2.3（二）定理设函数y=f(u)，u=(x)均可导，则复合函数y=f((x))也可导.且，)()(xufyx.ddddddxuuyxy，xuxuyy或或复合函数的求导法则即：因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则)1.2.3（二）推论设y=f(u)，u=(v)，v=(x)均可导，则复合函数y=f[((x))]也可导，xvuxvuyy且dxdvdvdududydxdy复合函数的求导法则一般称为链式法则填一填·知识要点、记下疑难点1.2.3（二）复合函数的概念一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成，那么称这个函数为y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作.复合函数的求导法则复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝.即y对x的导数等于____________________________________.x的函数y＝f(g(x))yu′·ux′y对u的导数与u对x的导数的乘积本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效1.2.3（二）探究点一复合函数的定义问题1观察函数y＝2xcosx及y＝ln(x＋2)的结构特点，说明它们分别是由哪些基本函数组成的？答y＝2xcosx是由u＝2x及v＝cosx相乘得到的；而y＝ln(x＋2)是由u＝x＋2与y＝lnu(x－2)经过“复合”得到的，即y可以通过中间变量u表示为自变量的函数．本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效1.2.3（二）问题2对一个复合函数，怎样判断函数的复合关系？答复合函数是因变量通过中间变量表示为自变量的函数的过程．在分析时可以从外向里出发，先根据最外层的主体函数结构找出y＝f(u)；再根据内层的主体函数结构找出函数u＝g(x)，函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成函数y＝f(g(x))．本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效1.2.3（二）问题3在复合函数中，内层函数的值域A与外层函数的定义域B有何关系？答A⊆B.本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效1.2.3（二）例1指出下列函数是怎样复合而成的：(1)y＝(3＋5x)2；(2)y＝log3(x2－2x＋5)；(3)y＝cos3x.解(1)y＝(3＋5x)2是由函数y＝u2，u＝3＋5x复合而成的．(2)y＝log3(x2－2x＋5)是由函数y＝log3u，u＝x2－2x＋5复合而成的．(3)y＝cos3x是由函数y＝cosu，u＝3x复合而成的．本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效1.2.3（二）小结分析函数的复合过程主要是设出中间变量u，分别找出y和u的函数关系，u和x的函数关系．本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效1.2.3（二）跟踪训练1指出下列函数由哪些函数复合而成：(1)y＝lnx；(2)y＝esinx；(3)y＝cos(3x＋1)．解(1)y＝lnu，u＝x；(2)y＝eu，u＝sinx；(3)y＝cosu，u＝3x＋1.本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效1.2.3（二）探究点二复合函数的导数问题如何求复合函数的导数？答对于简单复合函数的求导，其一般步骤为“分解——求导——回代”，即：(1)弄清复合关系，将复合函数分解成基本初等函数形式；(2)利用求导法则分层求导；(3)最终结果要将中间变量换成自变量．注意不要漏掉第(3)步回代的过程．本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效1.2.3（二）例2求下列函数的导数：(1)y＝(2x－1)4；(2)y＝11－2x；(3)y＝sin(－2x＋π3)；(4)y＝102x＋3.解(1)原函数可看作y＝u4，u＝2x－1的复合函数，则yx′＝yu′·ux′＝(u4)′·(2x－1)′＝4u3·2＝8(2x－1)3.(2)y＝11－2x＝21)21(x可看作y＝21u，u＝1－2x的复合函数，则yx′＝yu′·ux′＝(－12)23u·(－2)＝(1－2x)23＝11－2x1－2x.本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效1.2.3（二）(3)原函数可看作y＝sinu，u＝－2x＋π3的复合函数，则yx′＝yu′·ux′＝cosu·(－2)＝－2cos(－2x＋π3)＝－2cos(2x－π3)．(4)原函数可看作y＝10u，u＝2x＋3的复合函数，则yx′＝yu′·ux′＝102x＋3·ln10·2＝(ln100)102x＋3.本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效1.2.3（二）小结分析复合函数的结构，找准中间变量是求导的关键，要善于把一部分量、式子暂时看作一个整体，并且它们必须是一些常见的基本函数．复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外及内逐层求导．本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效1.2.3（二）跟踪训练2求下列函数的导数．(1)y＝ln1x；(2)y＝e3x；(3)y＝5log2(2x＋1)．解(1)函数y＝ln1x可以看成函数y＝lnu和函数u＝1x的复合函数．∴yx′＝yu′·ux′＝(lnu)′·(1x)′＝1u·(－1x2)＝－1x.(2)函数y＝e3x可以看成函数y＝eu和函数u＝3x的复合函数．∴yx′＝yu′·ux′＝(eu)′·(3x)′＝3eu＝3e3x.本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效1.2.3（二）(3)函数y＝5log2(2x＋1)可以看成函数y＝5log2u和函数u＝2x＋1的复合函数．∴yx′＝yu′·ux′＝5(log2u)′·(2x＋1)′＝10uln2＝102x＋1ln2.本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效1.2.3（二）探究点三导数的应用例3求曲线y＝e2x＋1在点(－12，1)处的切线方程．解∵y′＝e2x＋1·(2x＋1)′＝2e2x＋1，∴当x＝－12时，y′＝2，∴曲线y＝e2x＋1在点(－12，1)处的切线方程为y－1＝2(x＋12)，即2x－y＋2＝0.本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效1.2.3（二）小结求曲线切线的关键是正确求复合函数的导数，要注意“在某点处的切线”与“过某点的切线”两种不同的说法．本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效1.2.3（二）跟踪训练3曲线y＝e2xcos3x在(0,1)处的切线与直线l平行，且与l的距离为5，求直线l的方程．解y′＝(e2xcos3x)′＝(e2x)′cos3x＋e2x(cos3x)′＝2e2xcos3x＋e2x(－3sin3x)＝e2x(2cos3x－3sin3x)即当x＝0时，y′＝2.则切线方程为y－1＝2(x－0)即2x－y＋1＝0若直线l与切线平行可设直线l的方程为2x－y＋c＝0.两平行线间的距离d＝|c－1|5＝5⇒c＝6或c＝－4.故直线l的方程为2x－y＋6＝0或2x－y－4＝0.本课时栏目开关填一填研一研练一练练一练·当堂检测、目标达成落实处1.2.3（二）1．函数y＝(3x－2)2的导数为()A．2(3x－2)B．6xC．6x(3x－2)D．6(3x－2)解析y′＝2(3x－2)·(3x－2)′＝6(3x－2)．D本课时栏目开关填一填研一研练一练练一练·当堂检测、目标达成落实处1.2.3（二）2．若函数y＝sin2x，则y′等于()A．sin2xB．2sinxC．sinxcosxD．cos2x解析y′＝2sinx·(sinx)′A＝2sinx·cosx＝sin2x.本课时栏目开关填一填研一研练一练练一练·当堂检测、目标达成落实处1.2.3（二）3．若y＝f(x2)，则y′等于()A．2xf′(x2)B．2xf′(x)C．4x2f(x)D．f′(x2)解析设x2＝u，则y′＝f′(u)·ux′＝f′(x2)·(x2)′＝2xf′(x2)．A本课时栏目开关填一填研一研练一练练一练·当堂检测、目标达成落实处1.2.3（二）4．设曲线y＝eax在点(0,1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝________.解析由题意知y′＝aeax，即当x＝0时，y′＝a＝2.2本课时栏目开关填一填研一研练一练练一练·当堂检测、目标达成落实处1.2.3（二）求简单复合函数f(ax＋b)的导数求简单复合函数的导数，实质是运用整体思想，先把简单复合函数转化为常见函数y＝f(u)，u＝ax＋b的形式，然后再分别对y＝f(u)与u＝ax＋b分别求导，并把所得结果相乘．灵活应用整体思想把函数化为y＝f(u)，u＝ax＋b的形式是关键.本课时栏目开关填一填研一研练一练