勾股定理典型例题归类总结

19.已知Rt△ABC的周长为，其中斜边，求这个三角形的面积。10.如果把勾股定理的边的平方理解为正方形的面积，那么从面积的角度来说，勾股定理可以推广.(1)如图，以Rt△ABC的三边长为边作三个等边三角形，则这三个等边三角形的面积1S、2S、3S之间有何关系？并说明理由。（2）如图，以Rt△ABC的三边长为直径作三个半圆，则这三个半圆的面积1S、2S、3S之间有何关系？（3）如果将上图中的斜边上的半圆沿斜边翻折180°，请探讨两个阴影部分的面积之和与直角三角形的面积之间的关系，并说明理由。（此阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”）题型二：利用勾股定理测量长度例1.如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？跟踪练习：1.如图（8），水池中离岸边D点1.5米的C处，直立长着一根芦苇，出水部分BC的长是0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B恰好落到D点，并求水池的深度AC.2.一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端5米，消防车的云梯最大升长为13米，则云梯可以达该建筑物的最大高度是（）A、12米B、13米C、14米D、15米3.如图，有两颗树，一颗高10米，另一颗高4米，两树相距8米．一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢，问小鸟至少飞行（）2A、8米B、10米C、12米D、14米题型三：勾股定理和逆定理并用——例3.如图3，正方形ABCD中，E是BC边上的中点，F是AB上一点，且ABFB41那么△DEF是直角三角形吗？为什么？注：本题利用了四次勾股定理，是掌握勾股定理的必练习题。跟踪练习：1.如图，正方形ABCD中，E为BC边的中点，F点CD边上一点，且DF=3CF，求证：∠AEF=90°题型四：利用勾股定理求线段长度——例1.如图4，已知长方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长.跟踪练习：1.如图，将一个有45度角的三角板顶点C放在一张宽为3cm的纸带边沿上，另一个顶点B在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，求三角板的最大边AB的长.2.如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，D为AC的中点，DE⊥DF，交AB于E，交BC于F，（1）求证：BE=CF;（2）若AE=3，CF=1，求EF的长.33.如图，CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠ECD=90°,D为AB边上的一点.若AD=1，BD=3，求CD的长.题型五：利用勾股定理逆定理判断垂直——例1.有一个传感器控制的灯，安装在门上方，离地高4.5米的墙上，任何东西只要移至5米以内，灯就自动打开，一个身高1.5米的学生，要走到离门多远的地方灯刚好打开？跟踪练习：1.如图，每个小正方形的边长都是1，△ABC的三个顶点分别在正方形网格的格点上，试判断△ABC的形状，并说明理由.（1）求证：∠ABD=90°;（2）求的值2.下列各组数中，以它们边的三角形不是直角三角形的是（）A、9，12，15B、7,24,25C、D、，，43.在△ABC中，下列说法①∠B=∠C-∠A；②；③∠A:∠B:∠C=3：4：5；④a:b:c=5:4:3；⑤：：=1:2:3，其中能判断△ABC为直角三角形的条件有（）A、2个B、3个C、4个D、5个4.在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c.判断下列三角形是否为直角三角形？并判断哪一个是直角？（1）a=26，b=10，c=24;（2）a=5，b=7，c=9;（3）a=2，，A、2个B、3个C、4个D、5个5.已知△ABC的三边长为a、b、c，且满足，则此时三角形一定是（）A、等腰三角形B、直角三角形C、等腰直角三角形D、锐角三角形6.在△ABC中，若a=12n，b=2n，c=12n，则△ABC是（）A、锐角三角形B、钝角三角形C、等腰三角形D、直角三角形7.如图，正方形网格中的△ABC是（）A、直角三角形B、锐角三角形C、钝角三角形D、锐角三角形或钝角三角形8.已知在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列说法中，错误的是（）A、如果∠C-∠B=∠A,那么∠C=90°B、如果∠C=90°，那么C、如果（a+b）（a-b）=，那么∠A=90°D、如果∠A=30°，那么AC=2BC9.已知△ABC的三边分别为a，b，c，且a+b=3，ab=1，，求的值，试判断△ABC的形状，并说明理由10.观察下列各式：，，，……，根据其中规律，写出下一个式子为_____________11.已知，m＞n，m、n为正整数，以，2mn，为边的三角形是___三角形.12.一个直角三角形的三边分别为n+1，n-1，8，其中n+1是最大边，当n为多少时，三角形为直角三角形？题型六：旋转问题：例题6.如图，P是等边三角形ABC内一点，PA=2,PB=23,PC=4,求△ABC的边长.跟踪练习1.如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，E、F是BC上的点，且∠EAF=45°，试探究5222BECFEF、、间的关系，并说明理由.题型七：关于翻折问题例题7.如图，矩形纸片ABCD的边AB=10cm，BC=6cm，E为BC上一点，将矩形纸片沿AE折叠，点B恰好落在CD边上的点G处，求BE的长.跟踪练习1.如图，AD是△ABC的中线，∠ADC=45°，把△ADC沿直线AD翻折，点C落在点C’的位置，BC=4,求BC’的长.(一)折叠直角三角形1.如图，在△ABC中，∠A=90°，点D为AB上一点，沿CD折叠△ABC，点A恰好落在BC边上的'A处，AB=4，AC=3，求BD的长。62.如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5．将△ABC折叠使C与A重合，折痕为DE，求BE的长．（二）折叠长方形1.如图，长方形ABCD中，AB=4，BC=5，F为CD上一点，将长方形沿折痕AF折叠，点D恰好落在BC上的点E处，求CF的长。2.如图，长方形ABCD中，AD=8cm，AB=4cm，沿EF折叠，使点D与点B重合，点C与C'重合.（1）求DE的长;（2）求折痕EF的长.3.（2013•常德）如图，将长方形纸片ABCD折叠，使边CD落在对角线AC上，折痕为CE，且D点落在对角线D′处．若AB=3，AD=4，则ED的长为（）4.如图，长方形ABCD中，AB=6，AD=8，沿BD折叠使A到A′处DA′交BC于F点.（1）求证：FB=FE（2）求证：CA′∥BD7（3）求△DBF的面积7.如图，正方形ABCD中，点E在边CD上，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G,G为BC的中点，连结AG、CF.（1）求证：AG∥CF;（2）求的值.题型八：关于勾股定理在实际中的应用：例1、如图，公路MN和公路PQ在P点处交汇，点A处有一所中学，AP=160米，点A到公路MN的距离为80米，假使拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是18千米/小时，那么学校受到影响的时间为多少？例2.一辆装满货物高为1.8米，宽1.5米的卡车要通过一个直径为5米的半圆形双向行驶隧道，它能顺利通过吗？跟踪练习：1.某市气象台测得一热带风暴中心从A城正西方向300km处，以每小时26km的速度向北偏东60°方向8移动，距风暴中心200km的范围内为受影响区域。试问A城是否受这次风暴的影响？如果受影响，请求出遭受风暴影响的时间；如果没有受影响，请说明理由。2.一辆装满货物的卡车,其外形高2.5米,宽1.6米,要开进厂门形状如下图的某工厂,问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?3.有一个边长为50dm的正方形洞口，想用一个圆盖去盖住这个洞口，圆的直径至少多长？（结果保留整数）4.如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km,CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？题型九：关于最短性问题例1、如右图1－19，壁虎在一座底面半径为2米，高为4米的油罐的下底边沿A处，它发现在自己的正上方油罐上边缘的B处有一只害虫，便决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击．结果，壁虎的偷袭得到成功，获得了一顿美9餐．请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫?（π取3.14，结果保留1位小数，可以用计算器计算）例2.跟踪练习：1.如图为一棱长为3cm的正方体，把所有面都分为9个小正方形，其边长都是1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下地面A点沿表面爬行至右侧面的B点，最少要花几秒钟？2.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？3.一个长方体盒子的长、宽、高分别为8cm，6cm，12cm,一只蚂蚁想从盒底的A点爬到盒顶的B点,你能帮蚂蚁设计一条最短的线路吗？蚂蚁要爬行的最短路程是多少？4.如图将一根13.5厘米长的细木棒放入长、宽、高分别为4厘米、3厘米和12厘米的长方体无盖盒子中，能全部放进去吗？BA531BAA3？？A10题型十：勾股定理与特殊角（一）直接运用30°或45°的直角三角形1.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，若AC=23，求AD的长。2.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AD是△ABC的角平分线，CD⊥AB于D，∠A=30°，CD=2，求AB的长。3.如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，∠B=60°，∠,C=45°，AC=2，求BD的长。（二）作垂线构造30°或45°的直角三角形（1）将105°转化为45°和60°1.如图，在△ABC中，∠B=45°，∠A=105°，AC=2，求BC的长。2.如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=45°，∠ADB=∠ABC=105°,⑴若AD=2,求AB的长；⑵若AB+CD=23+2，求AB的长。11（2）将75°转化为30°和45°3.如图，在△ABC中，∠B=45°，∠BAC=75°，AB=6，求BC的长。题型十一：运用勾股定理列方程（一）直接用勾股定理列方程1.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB交CB于D，CD=3,BD=5，求AD的长。2.如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，且∠CAD=2∠BAD,若BD=3，CD=8，求AB的长。(二)巧用“连环勾”列方程1.如图，在△ABC中，AB=5，BC=7，AC=24,求ABCS.ABDC122.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AC=3，BC=4，求AD的长。3.如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AD=1，BD=4，求AC的长4.如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，CD=3，BD=4，求AD的长题型十二：勾股定理与分类讨论（一）锐角与钝角不明时需分类讨论1.在△ABC中，AB=AC=5，，求BC的长2.在△ABC中，AB=15，AC=13，AD为△ABC的高，且AD=12，求△ABC的面积。13（二）腰和底不明时需分类讨论3.如图1，△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D为射线AC上一点，且△ABD是等腰三角形，求△ABD的周长.（三）直角边和斜边不明时需分类讨论1.已知直角三角形两边分别为2和3，则第三边的长为_____________2.在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2，以AB为边向外作等腰直角三角形ABD，求CD的长3.如图，D(2,1),以OD为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在x轴上，这样的等腰三角形能画多少个?写出落在x轴上的顶点坐标.题型十三：或问题的证明