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1.在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换x′=5x,y′=3y后,曲线C变为曲线x′2+y′2=1,则曲线C的方程为()A.25x2+9y2=1B.9x2+25y2=1C.25x+9y=1D.x225+y29=12.极坐标方程ρ=cosθ化为直角坐标方程为()A.(x+12)2+y2=14B.x2+(y+12)2=14C.x2+(y-12)2=14D.(x-12)2+y2=14答案D解析由ρ=cosθ,得ρ2=ρcosθ,∴x2+y2=x.选D.3.极坐标方程ρcosθ=2sin2θ表示的曲线为()A.一条射线和一个圆B.两条直线C.一条直线和一个圆D.一个圆答案C4.在极坐标系中,圆ρ=-2sinθ的圆心的极坐标是()A.(1,π2)B.(1,-π2)C.(1,0)D.(1,π)答案B解析由ρ=-2sinθ,得ρ2=-2ρsinθ,化为普通方程x2+(y+1)2=1,其圆心坐标为(0,-1),所以其极坐标为(1,-π2),故应选B.5.设点M的直角坐标为(-1,-3,3),则它的柱坐标为()A.(2,π3,3)B.(2,2π3,3)C.(2,4π3,3)D.(2,5π3,3)答案C6.(2013·安徽)在极坐标系中,圆ρ=2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为()A.θ=0(ρ∈R)和ρcosθ=2B.θ=π2(ρ∈R)和ρcosθ=2C.θ=π2(ρ∈R)和ρcosθ=1D.θ=0(ρ∈R)和ρcosθ=1答案B解析由题意可知,圆ρ=2cosθ可化为普通方程为(x-1)2+y2=1.所以圆的垂直于x轴的两条切线方程分别为x=0和x=2,再将两条切线方程化为极坐标方程分别为θ=π2(ρ∈R)和ρcosθ=2,故选B.7.在极坐标系中,过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是()A.ρ=cosθB.ρ=sinθC.ρcosθ=1D.ρsinθ=1答案C解析过点(1,0)且与极轴垂直的直线,在直角坐标系中的方程为x=1,所以其极坐标方程为ρcosθ=1,故选C.8.(2013·天津)已知圆的极坐标方程为ρ=4cosθ,圆心为C,点P的极坐标为(4,π3),则|CP|=________.答案23解析由圆的极坐标方程为ρ=4cosθ,得圆心C的直角坐标为(2,0),点P的直角坐标为(2,23),所以|CP|=23.9.(2014·唐山一中)在极坐标系中,点P(2,-π6)到直线l:ρsin(θ-π6)=1的距离是________.答案3+1解析依题意知,点P(3,-1),直线l为x-3y+2=0,则点P到直线l的距离为3+1.10.若曲线的极坐标方程为ρ=2sinθ+4cosθ,以极点为原点,极轴为x轴正半轴建立直角坐标系,则该曲线的直角坐标方程为________.答案x2+y2-4x-2y=0解析由x=ρcosθ,y=ρsinθ⇒cosθ=xρ,sinθ=yρ,ρ2=x2+y2,代入ρ=2sinθ+4cosθ,得ρ=2yρ+4xρ⇒ρ2=2y+4x⇒x2+y2-4x-2y=0.11.在极坐标系中,直线ρsin(θ+π4)=2被圆ρ=4截得的弦长为________.答案43解析直线ρsin(θ+π4)=2可化为x+y-22=0,圆ρ=4可化为x2+y2=16,由圆中的弦长公式,得2r2-d2=242-2222=43.12.在极坐标系中,圆ρ=2cosθ的圆心的极坐标是________,它与方程θ=π4(ρ0)所表示的图形的交点的极坐标是________.答案(1,0)(2,π4)解析ρ=2cosθ表示以点(1,0)为圆心,1为半径的圆,故圆心的极坐标为(1,0).当θ=π4时,ρ=2,故交点的极坐标为(2,π4).13.在极坐标系(ρ,θ)(0≤θ2π)中,曲线ρ=2sinθ与ρcosθ=-1的交点的极坐标为________.答案(2,3π4)解析ρ=2sinθ的直角坐标方程为x2+y2-2y=0,ρcosθ=-1的直角坐标方程为x=-1.联立方程,得x2+y2-2y=0,x=-1,解得x=-1,y=1,即两曲线的交点为(-1,1).又0≤θ2π,因此这两条曲线的交点的极坐标为(2,3π4).14.在极坐标系中,直线ρ(cosθ-sinθ)+2=0被曲线C:ρ=2所截得弦的中点的极坐标为________.答案2,3π4解析直线ρ(cosθ-sinθ)+2=0化为直角坐标方程为x-y+2=0,曲线C:ρ=2化为直角坐标方程为x2+y2=4.如图,直线被圆截得弦AB,AB中点为M,则|OA|=2,|OB|=2,从而|OM|=2,∠MOx=3π4.∴点M的极坐标为2,3π4.15.已知点M的极坐标为(6,11π6),则点M关于y轴对称的点的直角坐标为________.答案(-33,-3)解析∵点M的极坐标为(6,11π6),∴x=6cos11π6=6cosπ6=6×32=33,y=6sin11π6=6sin(-π6)=-6×12=-3.∴点M的直角坐标为(33,-3).∴点M关于y轴对称的点的直角坐标为(-33,-3).16.在极坐标系中,点P(2,3π2)到直线l:3ρcosθ-4ρsinθ=3的距离为________.答案1解析在相应直角坐标系中,P(0,-2),直线l方程为3x-4y-3=0,所以P到l的距离d=|3×0-4×-2-3|32+42=1.17.从极点O作直线与另一直线l:ρcosθ=4相交于点M,在OM上取一点P,使|OM|·|OP|=12.(1)求点P的轨迹方程;(2)设R为l上的任意一点,试求|RP|的最小值.答案(1)ρ=3cosθ(2)1解析(1)设动点P的坐标为(ρ,θ),M的坐标为(ρ0,θ),则ρρ0=12.∵ρ0cosθ=4,∴ρ=3cosθ即为所求的轨迹方程.(2)由(1)知P的轨迹是以(32,0)为圆心,半径为32的圆,易得|RP|的最小值为1.18.在极坐标系下,已知圆O:ρ=cosθ+sinθ和直线l:ρsin(θ-π4)=22.(1)求圆O和直线l的直角坐标方程;(2)当θ∈(0,π)时,求直线l与圆O公共点的极坐标.答案(1)x2+y2-x-y=0,x-y+1=0(2)(1,π2)解析(1)圆O:ρ=cosθ+sinθ,即ρ2=ρcosθ+ρsinθ,圆O的直角坐标方程为x2+y2=x+y,即x2+y2-x-y=0.直线l:ρsin(θ-π4)=22,即ρsinθ-ρcosθ=1,则直线l的直角坐标方程为y-x=1,即x-y+1=0.(2)由x2+y2-x-y=0,x-y+1=0,得x=0,y=1.故直线l与圆O公共点的极坐标为(1,π2).
本文标题:极坐标练习题(含详细答案)
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